[BZOJ2127]happiness(最小割)
[BZOJ2127]happiness(最小割)
题面
高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。
分析
我们考虑用最小割解决问题.先把所有收益相加,再减去损失的代价。
每个人建一个点,如果这个点在最小割方案中被分到\(S\)集表示选文科,分到\(T\)集表示选理科.然后对于一对相邻的人\(i,j\)的建图如下,我们需要设置边权,使得割的大小与割的实际意义对应(\(i \rightarrow j\)流量为\(c\),\(j \rightarrow i\)流量为\(d\).注意\(i,j\)之间是一条双向边,实际上\(c=d\),只是为了下面描述方便拆成两个)
设\(A_i\)表示\(i\)选文科的价值,\(B_i\)表示\(i\)选理科的价值,\(C_{i,j}\)表示\(i,j\)同选文科的价值,\(D_{i,j}\)表示\(i,j\)同选理科
-
两个人同文科,割去e,f,割的大小为损失的收益,即两人同理科的收益,那么有\(e+f=B_i+B_j+D_{i,j} \ (1)\)
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两个人同理科,割去a,b,割的大小为损失的收益,即两人同文的收益,那么有\(a+b=A_i+A_j+C_{i,j} \ (2)\)
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\(i\)文\(j\)理,割去b,c,e,割的大小为损失的收益,即\(i\)理\(j\)文和同文同理的收益,那么有\(b+c+e=B_i+A_j+C_{i,j}+D_{i,j} \ (3)\)
-
\(i\)理\(j\)文,割去a,d,f割的大小为损失的收益,即\(i\)文\(j\)理和同文同理的收益,那么有\(a+d+f=B_i+A_j+C_{i,j}+D_{i,j} \ (4)\)
\((3)+(4)-(1)-(2)\)得\(c+d=C_{i,j}+D_{i,j}\),又因为 \(c=d\),则\(c=d=\frac{C_{i,j}+D_{i,j}}{2}\)
回代,得到四个方程
虽然该方程没有唯一解,但是观察得到如果我们令\(a=A_i+\frac{C_i,j}{2}\)就会出现很对称的结果
也就是说,\(S\)到\(i\)的边的容量等于\(i\)选文科的收益加上与\(i\)相邻的所有点\(j\)共同选文科的收益(这里实际上把所有相邻的点的边合并在一起).\(i\)到\(T\)的边的容量等于\(i\)选理科的收益加上与\(i\)相邻的所有点\(j\)共同选理科的收益.\(i\)和每个相邻点之间连双向边,容量为\(i,j\)共同选文科和共同选理科的收益之和的一半.最后用总收益减最小割就是答案
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define maxc 205
#define maxm 300005
#define maxn 300005
#define INF 1e10
using namespace std;
int n,m;
double wen[maxc][maxc];
double li[maxc][maxc];
inline int get_id(int x,int y){
return (x-1)*m+y;
}
struct edge{
int from;
int to;
int next;
}E[maxm<<1];
double flow[maxm<<1];
int head[maxn];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,double w){
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].next=head[u];
flow[sz]=w;
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].next=head[v];
flow[sz]=w;
head[v]=sz;
}
int deep[maxn];
queue<int>q;
int bfs(int s,int t){
while(!q.empty()) q.pop();
q.push(s);
for(int i=0;i<=n*m+1;i++) deep[i]=0;
deep[s]=1;
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(flow[i]&&!deep[y]){
deep[y]=deep[x]+1;
q.push(y);
if(y==t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
double dfs(int x,int t,double minf){
if(x==t) return minf;
double rest=minf,k;
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(flow[i]&&deep[y]==deep[x]+1){
k=dfs(y,t,min(rest,flow[i]));
if(k==0) deep[y]=0;
flow[i]-=k;
flow[i^1]+=k;
rest-=k;
if(rest==0) return minf;
}
}
return minf-rest;
}
double dinic(int s,int t){
double maxflow=0,nowflow=0;
while(bfs(s,t)){
while(nowflow=dfs(s,t,INF)) maxflow+=nowflow;
}
return maxflow;
}
int main(){
#ifdef INPUT_FILE
freopen("input.txt","r",stdin);
#endif
int s,t;
double x;
double sum=0;
scanf("%d %d",&n,&m);
s=0;
t=n*m+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%lf",&wen[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%lf",&li[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n-1;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%lf",&x);
wen[i][j]+=x/2;
wen[i+1][j]+=x/2;
add_edge(get_id(i,j),get_id(i+1,j),x/2);
}
}
for(int i=1;i<=n-1;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%lf",&x);
li[i][j]+=x/2;
li[i+1][j]+=x/2;
add_edge(get_id(i,j),get_id(i+1,j),x/2);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m-1;j++){
scanf("%lf",&x);
wen[i][j]+=x/2;
wen[i][j+1]+=x/2;
add_edge(get_id(i,j),get_id(i,j+1),x/2);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m-1;j++){
scanf("%lf",&x);
li[i][j]+=x/2;
li[i][j+1]+=x/2;
add_edge(get_id(i,j),get_id(i,j+1),x/2);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
add_edge(s,get_id(i,j),wen[i][j]);
add_edge(get_id(i,j),t,li[i][j]);
sum+=wen[i][j];
sum+=li[i][j];
}
}
printf("%d",int(sum-dinic(s,t)));
}
