[AT5203][AGC038F]Two Permutations(网络流)

[AT5203][AGC038F]Two Permutations(网络流).md

题面

给出两个排列\(P,Q\).要求构造两个排列\(A,B\).
要求:\(A_i\)要么等于\(i\),要么等于\(P_i\);\(B_i\)要么等于\(i\),要么等于\(Q_i\)
最大化\(A_i \neq B_i\)的下标\(i\)数量

分析

注意原题的排列是从0开始的,为讨论方便,我们统一转化为从1开始的。
考虑对于每个排列,把\(i\)向\(P_i\)连边,那么就会形成很多个环。比如排列\(\{3,2,4,1\}\),其中\(3,4,1\)和\(2\)分别形成两个环\(1-3-4-1\)和\(2-2\)。我们令\(A_i=P_i\),实际上就是把环上的数\(P_i\)选转过来(当然理解成把\(i\)转过来也可以,只是环上点权设置的问题).令\(A_i=i\)就是不旋转。对于一个环，环上的点选择的方案应该是一致的(全都等于\(i\)或全都不等于\(i\)),否则就会存在某个数不合法。

因为每个环只能选择旋转或不旋转,这就成了一个用最小割表示冲突的建图题,类似[LuoguP4313] 文理分科.我们把每个环看成一个点,记\(idp_i\)为\(P_i\)在哪个环上,\(idq_i\)为\(Q_i\)在哪个环上。

我们尝试让割的大小为\(A_i=B_i\)的下标数量,这样n-最小割就是答案。p分入S集合表示旋转,q分入T集合表示旋转.

1. 若\(P_i=Q_i\),无论如何\(A_i=B_i\),不连边,直接令答案-1.
2. 若\(P_i=i,Q_i \neq i\),\(idq_i\)不能旋转,连边\((idq_i,T,1)\),割去这条边表示\(idq_i\)不旋转
3. 若\(P_i \neq i,Q_i=i\),\(idp_i\)不能旋转,连边\((S,idp_i,1)\),割去这条边表示\(idp_i\)不旋转
4. 若\(P_i \neq i,Q_i \neq i\),\(idp_i,idq_i\)都不能旋转,连边\((q_i,p_i,1)\),割去这条边表示\(idp_i,idq_i\)都不能旋转
5. 若\(P_i=Q_i \neq i\),\(idp_i,idq_i\)可以同时旋转或不旋转,连边\((q_i,p_i,1)\)和\((p_i,q_i,1)\)表示两种选择

因为建出的图是二分图。时间复杂度\(O(n\sqrt n)\)略微卡常,记得Dinic要加当前弧优化

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue> 
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 200000
#define maxm 1000000
using namespace std;
template<typename T> void qread(T &x){
	x=0;
	T sign=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') sign=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	x=x*sign; 
} 

struct edge{
	int from;
	int to;
	int next;
	int flow;
}E[maxm*2+5];
int sz=1;
int head[maxn+5];
int cur[maxn+5];//当前弧优化 
void add_edge(int u,int v,int w){
//	printf("%d->%d %d\n",u,v,w);
	sz++;
	E[sz].from=u;
	E[sz].to=v;
	E[sz].next=head[u];
	E[sz].flow=w;
	head[u]=sz;
	sz++;
	E[sz].from=v;
	E[sz].to=u;
	E[sz].next=head[v];
	E[sz].flow=0;
	head[v]=sz;
}
int deep[maxn+5];
bool bfs(int s,int t){
	for(int i=s;i<=t;i++) deep[i]=0;
	queue<int>q;
	q.push(s);
	deep[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
			int y=E[i].to; 
			if(E[i].flow&&!deep[y]){
				deep[y]=deep[x]+1;
				q.push(y);
			}
		}
	}
	return deep[t]>0;
} 
int dfs(int x,int t,int minf){
	if(x==t) return minf;
	int rest=minf,k;
	for(int &i=cur[x];i;i=E[i].next){
		int y=E[i].to;
		if(E[i].flow&&deep[y]==deep[x]+1){
			k=dfs(y,t,min(rest,E[i].flow));
			E[i].flow-=k;
			E[i^1].flow+=k;
			rest-=k; 
			if(k==0) deep[y]=0;
			if(rest==0) break;
		}
	}
	return minf-rest;
}
int dinic(int s,int t){
	int ans=0,now=0;
	while(bfs(s,t)){
		for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=head[i];
		while((now=dfs(s,t,maxm+1))) ans+=now;
	}
	return ans;
} 

int n;
int p[maxn+5],q[maxn+5];
int cnt=0;//环个数 
int idp[maxn+5],idq[maxn+5];//所在环编号
void mark(int *id,int *a,int x){
	while(!id[x]){
		id[x]=cnt;
		x=a[x];
	}
}
int main(){
	qread(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		qread(p[i]);
		p[i]++; 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		qread(q[i]);
		q[i]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){//找出每个环 
		if(!idp[i]){
			cnt++;
			mark(idp,p,i);
		} 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!idq[i]){
			cnt++;
			mark(idq,q,i);
		}
	}
	int s=0,t=cnt+1;
	int eq=0;//相等的个数 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(p[i]==i&&q[i]==i) eq++;
		else if(p[i]==i&&q[i]!=i) add_edge(idq[i],t,1);
		else if(p[i]!=i&&q[i]==i) add_edge(s,idp[i],1);
		else if(p[i]!=q[i]) add_edge(idq[i],idp[i],1);
		else{
			add_edge(idq[i],idp[i],1);
			add_edge(idp[i],idq[i],1);
		}
	}
	eq+=dinic(s,t);
	printf("%d\n",n-eq);
}