[LuoguP4719][模板]动态DP(动态DP)

[LuoguP4719][模板]动态DP(动态DP)

题面

给出一棵$n$个点的树,点带权。$m$组修改,每次修改一个点的点权，并询问整棵树最大权独立集大小。

分析

约定:$child(x)$表示$x$的儿子集合,$son(x)$表示$x$的重儿子。
先写出树形DP.设$f_{x,0/1}$表示不选或选$x$,$x$的子树里最大权独立集的大小.
如果不选$x$,那么儿子$y$可以任意选

$$f_{x,0}=\sum_{y \in child(x)} \max(f_{y,0},f_{y,1})$$

如果选了$x$,那么儿子$y$就不能选。

$$f_{x,1}=val_x+\sum_{y \in child(x)} f_{y,0}$$

动态DP的套路,轻链和重链分别维护,令:

$$g_{x,0}=\sum_{y \in child(x)-\{son(x)\}}\max(f_{y,0},f_{y,1})$$

$$g_{x,1}=val_x+\sum_{y \in child(x)-\{son(x)\}}f_{y,0}$$

那么有：

$f_{x,0}=\max(f_{son(x),0},f_{son(x),1})+g_{x,0}$
$f_{x,1}=f_{son(x),0}+g_{x,1}$

写成矩阵的形式(注意这里是max,+矩阵乘法)

$$\begin{bmatrix}f_{x,0} \\ f_{x,1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}g_{x,0} \ g_{x,0} \\ g_{x,1} \ -\infty \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f_{son(x),0} \\ f_{son(x),1} \end{bmatrix}$$

然后按照动态DP的套路，沿着重链往上跳,修改链头尾节点即可。对于路径查询矩阵乘积，可以用树链剖分+线段树或LCT实现。

代码

树链剖分+线段树:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 200000
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
struct edge {
	int from;
	int to;
	int next;
} E[maxn*2+5];
int head[maxn+5];
int esz=1;
void add_edge(int u,int v) {
	esz++;
	E[esz].from=u;
	E[esz].to=v;
	E[esz].next=head[u];
	head[u]=esz;
}
int fa[maxn+5],son[maxn+5],sz[maxn+5],top[maxn+5],btm[maxn+5]/*所在重链最底端*/,dfn[maxn+5],hash_dfn[maxn+5];
void dfs1(int x,int f) {
	sz[x]=1;
	fa[x]=f;
	for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
		int y=E[i].to;
		if(y!=f) {
			dfs1(y,x);
			sz[x]+=sz[y];
			if(sz[y]>sz[son[x]]) son[x]=y;
		}
	}
}
int tim=0;
void dfs2(int x,int t) {
	top[x]=t;
	dfn[x]=++tim;
	hash_dfn[dfn[x]]=x;
	if(son[x]) {
		dfs2(son[x],t);
		btm[x]=btm[son[x]];//维护重链最底端节点
	} else btm[x]=x;
	for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
		int y=E[i].to;
		if(y!=fa[x]&&y!=son[x]) {
			dfs2(y,y);
		}
	}
}
 
 
struct matrix {
	ll a[2][2];
	inline void set(int x) {
		for(int i=0; i<2; i++) {
			for(int j=0; j<2; j++) a[i][j]=x;
		}
	}
	friend matrix operator * (matrix p,matrix q) {
		matrix ans;
		ans.set(-INF);
		for(int i=0; i<2; i++) {
			for(int j=0; j<2; j++) {
				for(int k=0; k<2; k++) {
					ans.a[i][j]=max(ans.a[i][j],p.a[i][k]+q.a[k][j]);
				}
			}
		}
		return ans;
	}
} mat[maxn+5];
ll val[maxn+5];
ll f[maxn+5][2],g[maxn+5][2];
void dfs3(int x) {
	f[x][0]=0;
	f[x][1]=val[x];
	for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
		int y=E[i].to;
		if(y!=fa[x]) {
			dfs3(y);
			f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
			f[x][1]+=f[y][0];
		}
	}
	g[x][0]=0,g[x][1]=val[x];
	for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
		int y=E[i].to;
		if(y!=fa[x]&&y!=son[x]) {
			g[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
			g[x][1]+=f[y][0];
		}
	}
	mat[x].a[0][0]=g[x][0];
	mat[x].a[0][1]=g[x][0];
	mat[x].a[1][0]=g[x][1];
	mat[x].a[1][1]=-INF;
}
 
struct segment_tree {
	struct node {
		int l;
		int r;
		matrix v;
	} tree[maxn*4+5];
	void push_up(int pos) {
		tree[pos].v=tree[pos<<1].v*tree[pos<<1|1].v;
	}
	void build(int l,int r,int pos) {
		tree[pos].l=l;
		tree[pos].r=r;
		if(l==r) {
			tree[pos].v=mat[hash_dfn[l]];
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(l,mid,pos<<1);
		build(mid+1,r,pos<<1|1);
		push_up(pos);
	}
	void update(int upos,matrix &uval,int pos) {
		if(tree[pos].l==tree[pos].r) {
			tree[pos].v=uval;
			return;
		}
		int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;
		if(upos<=mid) update(upos,uval,pos<<1);
		else update(upos,uval,pos<<1|1);
		push_up(pos);
	}
	matrix query(int L,int R,int pos) {
		if(L<=tree[pos].l&&R>=tree[pos].r) return tree[pos].v;
		int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;
		matrix ans;
		ans.a[0][0]=ans.a[1][1]=0;
		ans.a[0][1]=ans.a[1][0]=-INF;
		if(L<=mid) ans=ans*query(L,R,pos<<1);
		if(R>mid) ans=ans*query(L,R,pos<<1|1);
		return ans;
	}
} T;
ll get_f(int x,int k) {
	//f[x]需要从x所在重链底端推上来,变成区间矩阵乘法
	return T.query(dfn[x],dfn[btm[x]],1).a[k][0];
}
void change(int x,int v) {
	g[x][1]+=v-val[x];
	val[x]=v;
	while(x) {
		mat[x].a[0][0]=g[x][0];
		mat[x].a[0][1]=g[x][0];
		mat[x].a[1][0]=g[x][1];
		mat[x].a[1][1]=-INF;
		T.update(dfn[x],mat[x],1);
		x=top[x];
		g[fa[x]][0]-=max(f[x][0],f[x][1]);
		g[fa[x]][1]-=f[x][0];
		f[x][0]=get_f(x,0);
		f[x][1]=get_f(x,1);
		g[fa[x]][0]+=max(f[x][0],f[x][1]);
		g[fa[x]][1]+=f[x][0];
		x=fa[x];
	}
}
 
int main() {
	int u,v;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lld",&val[i]);
	for(int i=1; i<n; i++) {
		scanf("%d %d",&u,&v);
		add_edge(u,v);
		add_edge(v,u);
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,1);
	dfs3(1);
	T.build(1,n,1);
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		scanf("%d %d",&u,&v);
		change(u,v);
		printf("%lld\n",max(get_f(1,0),get_f(1,1)));
	}
}

LCT:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 200000
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
struct edge {
	int from;
	int to;
	int next;
} E[maxn*2+5];
int head[maxn+5];
int esz=1;
void add_edge(int u,int v) {
	esz++;
	E[esz].from=u;
	E[esz].to=v;
	E[esz].next=head[u];
	head[u]=esz;
}
 
struct matrix {
	ll a[2][2];
	matrix(){
		a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=-INF;
	}
	inline void set(int x) {
		for(int i=0; i<2; i++) {
			for(int j=0; j<2; j++) a[i][j]=x;
		}
	}
	friend matrix operator * (matrix p,matrix q) {
		matrix ans;
		ans.set(-INF);
		for(int i=0; i<2; i++) {
			for(int j=0; j<2; j++) {
				for(int k=0; k<2; k++) {
					ans.a[i][j]=max(ans.a[i][j],p.a[i][k]+q.a[k][j]);
				}
			}
		}
		return ans;
	}
} mat[maxn+5];
ll val[maxn+5];
ll f[maxn+5][2],g[maxn+5][2];
 
struct LCT {
#define lson(x) (tree[x].ch[0])
#define rson(x) (tree[x].ch[1])
#define fa(x) (tree[x].fa)
	struct node {
		int ch[2];
		int fa;
		matrix v;
	} tree[maxn+5];
	inline bool is_root(int x) { //注意合并顺序
		return !(lson(fa(x))==x||rson(fa(x))==x);
	}
	inline int check(int x) {
		return rson(fa(x))==x;
	}
	void push_up(int x) {
		tree[x].v=mat[x];
		if(lson(x)) tree[x].v=tree[lson(x)].v*tree[x].v;
		if(rson(x)) tree[x].v=tree[x].v*tree[rson(x)].v;
	}
	void rotate(int x) {
		int y=tree[x].fa,z=tree[y].fa,k=check(x),w=tree[x].ch[k^1];
		tree[y].ch[k]=w;
		tree[w].fa=y;
		if(!is_root(y)) tree[z].ch[check(y)]=x;
		tree[x].fa=z;
		tree[x].ch[k^1]=y;
		tree[y].fa=x;
		push_up(y);
		push_up(x);
	}
	void splay(int x) {
		while(!is_root(x)) {
			int y=fa(x);
			if(!is_root(y)) {
				if(check(x)==check(y)) rotate(y);
				else rotate(x);
			}
			rotate(x);
		}
	}
	void access(int x) {
		//access的时候可能由实变虚,或由虚变实,因此要更新f,g,方法类似LCT维护虚子树信息
		//这里和树剖向上跳重链更新是类似的
		if(x==2){
			x=2;
		}
		for(int y=0; x; y=x,x=fa(x)) {
			splay(x);
			//原来的rson(x)由实变虚
			if(rson(x)){
				mat[x].a[0][0]+=max(tree[rson(x)].v.a[0][0],tree[rson(x)].v.a[1][0]);//这里也可以不用f和g,直接写对应矩阵里的值 
				mat[x].a[1][0]+=tree[rson(x)].v.a[0][0];
			} 
			rson(x)=y;
			if(rson(x)){
				mat[x].a[0][0]-=max(tree[rson(x)].v.a[0][0],tree[rson(x)].v.a[1][0]);
				mat[x].a[1][0]-=tree[rson(x)].v.a[0][0];
			}
			mat[x].a[0][1]=mat[x].a[0][0];
			push_up(x);
		}
	}
	void change(int x,int v) {
		access(x);
		splay(x);
		mat[x].a[1][0]+=v-val[x];
		push_up(x);
		val[x]=v;
	}
	ll query(int x) {
		splay(1);//查询前记得splay到根 
		return max(tree[1].v.a[0][0],tree[1].v.a[1][0]);
	}
} T;
 
void dfs(int x,int fa) {
	f[x][0]=0;
	f[x][1]=val[x];
	for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
		int y=E[i].to;
		if(y!=fa) {
			dfs(y,x);
			f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
			f[x][1]+=f[y][0];
		}
	}
	mat[x].a[0][0]=mat[x].a[0][1]=f[x][0];//一开始全是轻边,f=g 
	mat[x].a[1][0]=f[x][1];
	mat[x].a[1][1]=-INF;
	T.tree[x].v=mat[x];//初始化LCT
	T.tree[x].fa=fa; //记得初始化fa
}
int main() {
	int u,v;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lld",&val[i]);
	for(int i=1; i<n; i++) {
		scanf("%d %d",&u,&v);
		add_edge(u,v);
		add_edge(v,u);
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		scanf("%d %d",&u,&v);
		T.change(u,v);
		printf("%lld\n",T.query(1));
	}
}

全局平衡二叉树:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 200000
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
struct edge {
	int from;
	int to;
	int next;
} E[maxn*2+5];
int head[maxn+5];
int esz=1;
void add_edge(int u,int v) {
	esz++;
	E[esz].from=u;
	E[esz].to=v;
	E[esz].next=head[u];
	head[u]=esz;
}
 
struct matrix {
	ll a[2][2];
	matrix() {
		a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=-INF;
	}
	inline void set(int x) {
		for(int i=0; i<2; i++) {
			for(int j=0; j<2; j++) a[i][j]=x;
		}
	}
	friend matrix operator * (matrix p,matrix q) {
		matrix ans;
		ans.set(-INF);
		for(int i=0; i<2; i++) {
			for(int j=0; j<2; j++) {
				for(int k=0; k<2; k++) {
					ans.a[i][j]=max(ans.a[i][j],p.a[i][k]+q.a[k][j]);
				}
			}
		}
		return ans;
	}
	ll* operator [](int i) {
		return a[i];
	}
} mat[maxn+5];
ll val[maxn+5];
ll f[maxn+5][2],g[maxn+5][2];
int sz[maxn+5],lsz[maxn+5],son[maxn+5];
 
void dfs1(int x,int fa) {
	sz[x]=lsz[x]=1;
	f[x][0]=0;
	f[x][1]=val[x];
	for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
		int y=E[i].to;
		if(y!=fa) {
			dfs1(y,x);
			f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
			f[x][1]+=f[y][0];
			sz[x]+=sz[y];
			if(sz[son[x]]<sz[y]) son[x]=y;
		}
	}
	g[x][0]=0,g[x][1]=val[x];
	for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
		int y=E[i].to;
		if(y!=fa&&y!=son[x]) {
			g[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
			g[x][1]+=f[y][0];
			lsz[x]+=sz[y];
		}
	}
	mat[x].a[0][0]=g[x][0];
	mat[x].a[0][1]=g[x][0];
	mat[x].a[1][0]=g[x][1];
	mat[x].a[1][1]=-INF;
}
 
struct BST {
#define fa(x) (tree[x].fa)
#define lson(x) (tree[x].ch[0])
#define rson(x) (tree[x].ch[1])
	int root;
	int tot;
	int stk[maxn+5];//存储当前重链
	int sumsz[maxn+5];//存储重链上点的lsz之和
	struct node {
		int fa;//全局平衡二叉树上的父亲
		int ch[2];
		matrix v;
	} tree[maxn+5];
	inline bool is_root(int x) { //注意合并顺序
		return !(lson(fa(x))==x||rson(fa(x))==x);
	}
	void push_up(int x) {//很多函数和LCT是一样的
		tree[x].v=mat[x];
		if(lson(x)) tree[x].v=tree[lson(x)].v*tree[x].v;
		if(rson(x)) tree[x].v=tree[x].v*tree[rson(x)].v;
	}
 
	int get_bst(int l,int r) {
		if(l>r) return 0;
		int mid=lower_bound(sumsz+l,sumsz+r+1,(sumsz[l-1]+sumsz[r])/2)-sumsz;//求带权重心
		int x=stk[mid];
		lson(x)=get_bst(l,mid-1);
		rson(x)=get_bst(mid+1,r);//递归建树,这样的二叉树是平衡的
		if(lson(x)) fa(lson(x))=x;//类似LCT,初始化fa和son 
		if(rson(x)) fa(rson(x))=x;
		push_up(x);
		return x;
	}
	int build(int x,int f) {
		int rt=0;
		stk[++tot]=x;
		sumsz[tot]+=lsz[x];
		if(son[x]) { //继续dfs重链
			sumsz[tot+1]+=sumsz[tot];
			rt=build(son[x],x);
		} else { //到了重链底部,可以建二叉树了
			rt=get_bst(1,tot);
			for(int i=1; i<=tot; i++) sumsz[i]=0;
			tot=0;
			return rt;
		}
		for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
			int y=E[i].to;
			if(y!=f&&y!=son[x]) fa(build(y,x))=x;//对于轻链,递归下去建树,再用fa把它们连起来
		}
		return rt;
	}
	void update(int x) {
		while(x) { //这一部分和树剖跳重链类似
			int f=fa(x);
			if(f&&is_root(x)) {//只有到了BST根的时候，说明已经处理完了整条重链，跳轻链到fa(x)更新上一条重链 
				mat[f][0][0]-=max(tree[x].v[0][0],tree[x].v[1][0]);
				mat[f][0][1]-=max(tree[x].v[0][0],tree[x].v[1][0]);
				mat[f][1][0]-=tree[x].v[0][0];
			}
			push_up(x);
			if(f&&is_root(x)) {
				mat[f][0][0]+=max(tree[x].v[0][0],tree[x].v[1][0]);
				mat[f][0][1]+=max(tree[x].v[0][0],tree[x].v[1][0]);
				mat[f][1][0]+=tree[x].v[0][0];
			}
			x=fa(x);
		}
	}
	void ini(){
		dfs1(1,0);
		root=build(1,0);
	}
	void change(int x,int v) {
		mat[x][1][0]+=v-val[x];
		val[x]=v;
		update(x);
	}
	ll query(){
		return max(tree[root].v[0][0],tree[root].v[1][0]);
	}
	void debug(){ 
		printf("root=%d\n",root); 
		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",fa(i));
		printf("\n");
	}
} T;
 
 
int main() {
	int u,v;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lld",&val[i]);
	for(int i=1; i<n; i++) {
		scanf("%d %d",&u,&v);
		add_edge(u,v);
		add_edge(v,u);
	}
	T.ini();
//	T.debug();
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		scanf("%d %d",&u,&v);
		T.change(u,v);
		printf("%lld\n",T.query());
	}
}