[BJOI2014]大融合(Link Cut Tree)

[BJOI2014]大融合(Link Cut Tree)

题面

给出一棵树，动态加边，动态查询通过每条边的简单路径数量。

分析

通过每条边的简单路径数量显然等于边两侧节点x,y子树大小的乘积。

我们知道裸的LCT只能维护链的信息，那么怎么维护子树大小呢？我们只需要对于节点x维护x的所有虚儿子的子树大小之和vir。那么查询的时候先split(x,y),这样x到y就成为了实链,其他与x相连的节点都是虚儿子。那么x一侧的子树大小就是vir[x]+1,y一侧的子树大小就是vir[y]+1

考虑虚子树大小如何维护:

首先总的子树大小可以在push_up的时候维护,sz[x]=sz[lson(x)]+sz[rson(x)]+vir[x]+1.相当于把实儿子的子树大小求和，然后加上虚儿子的子树大小之和，再加上本身1

注意到只有access和link操作会影响到vir[x].

//一般LCT的access
void access(int x){
		for(int y=0;x;y=x,x=fa(x)){
			splay(x);
			rson(x)=y;
			push_up(x);
		}
	}

观察access的过程，我们发现原来x的右儿子变成了虚儿子，而y变成了x的实儿子。因此vir要加上原来rson(x)的子树大小，并且减去y的子树大小

void access(int x){
		for(int y=0;x;y=x,x=fa(x)){
			splay(x);
			tree[x].vir+=tree[rson(x)].sz;//原来的实儿子变成虚儿子 
			rson(x)=y;
			tree[x].vir-=tree[rson(x)].sz;//原来的虚儿子变成实儿子	
			push_up(x);
		}
	}

link操作更简单

//一般LCT的link
void link(int x,int y){
		make_root(x);
		fa(x)=y;
		push_up(y);
}

直接把vir[y]加上sz[x]即可

void link(int x,int y){
		split(x,y);
		fa(x)=y;
		tree[y].vir+=tree[x].sz;
		push_up(y);
}

注意到这里必须split(x,y),因为split之前y在原树中不一定是根，link了以后y的所有祖先的sz数组都是需要更新的.所以要splay(y)，把sz先更新一下。否则会造成一些节点的sz未被更新.

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 100000
using namespace std;
typedef long long ll;
struct LCT{
#define lson(x) (tree[x].ch[0])
#define rson(x) (tree[x].ch[1])
#define fa(x) (tree[x].fa)
	struct node{
		int ch[2];
		int fa;
		int sz;//总的子树大小
		int vir;//除了实链外连接到x的点的子树大小 
		int revm;
	}tree[maxn+5];
	inline bool is_root(int x){
		return !(lson(fa(x))==x||rson(fa(x))==x);
	}
	inline int check(int x){
		return rson(fa(x))==x;
	}
	void push_up(int x){
		tree[x].sz=tree[lson(x)].sz+tree[rson(x)].sz+1+tree[x].vir;
	}
	void reverse(int x){
		swap(lson(x), rson(x));
		tree[x].revm^=1;
	}
	void push_down(int x){
		if(tree[x].revm){
			reverse(lson(x));
			reverse(rson(x));
			tree[x].revm=0;
		}
	}
	void push_down_all(int x){
		if(!is_root(x)) push_down_all(fa(x));
		push_down(x);
	}
	void rotate(int x){
		int y=fa(x),z=fa(y),k=check(x),w=tree[x].ch[k^1];
		tree[y].ch[k]=w;
		tree[w].fa=y;
		if(!is_root(y)) tree[z].ch[check(y)]=x;
		tree[x].fa=z;
		tree[x].ch[k^1]=y;
		tree[y].fa=x;
		push_up(y);
		push_up(x);
	}
	void splay(int x){
		push_down_all(x);
		while(!is_root(x)){
			int y=fa(x);
			if(!is_root(y)){
				if(check(x)==check(y)) rotate(y);
				else rotate(x);
			}
			rotate(x);
		}
		push_up(x);
	}
	void access(int x){
		for(int y=0;x;y=x,x=fa(x)){
			splay(x);
			tree[x].vir+=tree[rson(x)].sz;//原来的实儿子变成虚儿子 
			rson(x)=y;
			tree[x].vir-=tree[rson(x)].sz;//原来的虚儿子变成实儿子	
			push_up(x);
		}
	}
	void make_root(int x){
		access(x);
		splay(x);
		reverse(x);
	}
	void split(int x,int y){
		make_root(x);
		access(y);
		splay(y); 
	}
	void link(int x,int y){
		split(x,y);
		fa(x)=y;
		tree[y].vir+=tree[x].sz;
		push_up(y);
	}
	void cut(int x,int y){
		split(x,y);
		lson(y)=fa(x)=0; 
		push_up(y);
	} 
	ll query(int x,int y){
		split(x,y);
//		return 1ll*(tree[x].sz)*(tree[y].sz);
		return 1ll*(tree[x].vir+1)*(tree[y].vir+1);
	}
}T;

int n,m; 
int main(){
	int u,v;
	char cmd[2];
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) T.tree[i].sz=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%s %d %d",cmd,&u,&v);
		if(cmd[0]=='A'){
			T.link(u,v);
		}else{
//			T.cut(u,v);
			printf("%lld\n",T.query(u,v));
//			T.link(u,v);
		}
	} 
}