BZOJ 3611 大工程 （虚树）

题面

国家有一个大工程，要给一个非常大的交通网络里建一些新的通道。

我们这个国家位置非常特殊，可以看成是一个单位边权的树，城市位于顶点上。

在 2 个国家 a,b 之间建一条新通道需要的代价为树上 a,b 的最短路径。

现在国家有很多个计划，每个计划都是这样，我们选中了 k 个点，然后在它们两两之间 新建 C(k,2)条 新通道。

现在对于每个计划，我们想知道：

1.这些新通道的代价和

2.这些新通道中代价最小的是多少

3.这些新通道中代价最大的是多少

分析

显然需要建虚树，我们考虑如何在虚树上DP（注意：以下定义的点和子树都是虚树上的）

设sz[x]表示x的子树内有多少个询问点,sum[x]表示x子树内的路径长度和，dmin[x]表示x子树内到x的最小路径长度，dmax[x]表示 x子树内到x的最大路径长度

对于x的子节点y,我们可以写出如下的状态转移方程

sum[x]+=sum[y]+(k-sz[y]) · sz[y] ·dist(x,y)

x的子树内的路径分为两种：一种是在y的子树内部的路径，一种是从y的子树内的sz[y]个节点到子树外(k-sz[y])个节点)

dmin[x]=min(dmin[x],dmin[y]+dist(x,y));
dmax[x]=max(dmax[x],dmax[y]+dist(x,y));

long long siz[maxn];//siz[x],x子树内询问点的个数 
long long sum[maxn],dmin[maxn],dmax[maxn];
//sum[x] x子树内的路径长度和
//dmin[x] x子树内到x的最小路径长度
//dmax[x] x子树内到x的最大路径长度 
long long ans_sum,ans_min,ans_max;
void dfs2(int x,int fa){
	siz[x]=is_q[x];
	dmax[x]=0;
	dmin[x]=INF;
	sum[x]=0;
	for(int i=T2.head[x];i;i=T2.E[i].next){
		int y=T2.E[i].to;
		long long len=deep[y]-deep[x];
		if(y!=fa){
			dfs2(y,x);
			sum[x]+=sum[y]+siz[y]*(k-siz[y])*len;
			//y子树内部路径 + y子树到外面其他询问点的路径 
			siz[x]+=siz[y];
			ans_min=min(ans_min,dmin[x]+dmin[y]+len);
			ans_max=max(ans_max,dmax[x]+dmax[y]+len);
			dmin[x]=min(dmin[x],dmin[y]+len);
			dmax[x]=max(dmax[x],dmax[y]+len);
		}
	}
	if(is_q[x]){
		ans_min=min(ans_min,dmin[x]);
		ans_max=max(ans_max,dmax[x]);
		dmin[x]=0;//当前最小值为0，这样祖先节点就可以用它来更新最小值（最小路径可能是祖先~x） 
	}
	T2.head[x]=0;
}

注意，此题需要卡常

可以预处理出2的i次方，然后在lca里面优化倍增，详情见代码

代码

//http://119.29.55.79/problem/276
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 1000005
#define maxlog 32
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
inline void qread(int &x){
	x=0;
	int sign=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') sign=-1;
		c=getchar();
	}	
	while(c>='0'&&c<='9'){
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	x=x*sign;
}
inline void qprint(long long x){
	if(x<0){
		putchar('-');
		qprint(-x);
	}else if(x==0){
		putchar('0');
		return;
	}else{
		if(x/10>0) qprint(x/10);
		putchar('0'+x%10);
	}
}

int n,m;
struct graph{
	struct edge{
		int from;
		int to;
		int next;
	}E[maxn<<1];
	int head[maxn];
	int sz;
	void add_edge(int u,int v){
		sz++;
		E[sz].from=u;
		E[sz].to=v;
		E[sz].next=head[u];
		head[u]=sz;
		sz++;
		E[sz].from=v;
		E[sz].to=u;
		E[sz].next=head[v];
		head[v]=sz;
	}
	graph(){
		sz=1;
	}
}T1,T2;


int log2n;
int tim=0;
int dfn[maxn];
int deep[maxn];
int bin[maxn];//卡常用 
int anc[maxn][maxlog];
void dfs1(int x,int fa){
	dfn[x]=++tim;
	deep[x]=deep[fa]+1;
	anc[x][0]=fa;
	for(int i=1;bin[i]<=deep[x];i++)anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
	for(int i=T1.head[x];i;i=T1.E[i].next){
		int y=T1.E[i].to;
		if(y!=fa){
			dfs1(y,x);
		}
	}
}
int lca(int x,int y){
	if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
	int t=deep[x]-deep[y];
	for(int i=0;bin[i]<=t;i++){
		if(bin[i]&t){
			x=anc[x][i];
		}
	}
	if(x==y) return x;
	for(int i=log2n;i>=0;i--){
		if(anc[x][i]!=anc[y][i]){
			x=anc[x][i];
			y=anc[y][i];
		}
	}
	return anc[x][0];
}

int k;
int top=0;
int s[maxn];
int in[maxn];
int cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
int is_q[maxn];//是否是询问点 
void insert(int x){
	if(top<=1){
		s[++top]=x;
		return;
	}
	int lc=lca(x,s[top]);
	if(lc==s[top]){
		s[++top]=x;
		return;
	}
	while(top>1&&deep[s[top-1]]>=deep[lc]){
		T2.add_edge(s[top-1],s[top]);
//		printf("vtree : %d->%d\n",s[top-1],s[top]);
		top--;
	}
	if(s[top]!=lc){
		T2.add_edge(lc,s[top]);
//		printf("vtree : %d->%d\n",lc,s[top]);
	}
	s[top]=lc;
	s[++top]=x;
}

long long siz[maxn];//siz[x],x子树内询问点的个数 
long long sum[maxn],dmin[maxn],dmax[maxn];
//sum[x] x子树内的路径长度和
//dmin[x] x子树内到x的最小路径长度
//dmax[x] x子树内到x的最大路径长度 
long long ans_sum,ans_min,ans_max;
void dfs2(int x,int fa){
	siz[x]=is_q[x];
	dmax[x]=0;
	dmin[x]=INF;
	sum[x]=0;
	for(int i=T2.head[x];i;i=T2.E[i].next){
		int y=T2.E[i].to;
		long long len=deep[y]-deep[x];
		if(y!=fa){
			dfs2(y,x);
			sum[x]+=sum[y]+siz[y]*(k-siz[y])*len;
			//y子树内部路径 + y子树到外面其他询问点的路径 
			siz[x]+=siz[y];
			ans_min=min(ans_min,dmin[x]+dmin[y]+len);
			ans_max=max(ans_max,dmax[x]+dmax[y]+len);
			dmin[x]=min(dmin[x],dmin[y]+len);
			dmax[x]=max(dmax[x],dmax[y]+len);
		}
	}
	if(is_q[x]){
		ans_min=min(ans_min,dmin[x]);
		ans_max=max(ans_max,dmax[x]);
		dmin[x]=0;//当前最小值为0，这样祖先节点就可以用它来更新最小值（最小路径可能是祖先~x） 
	}
	T2.head[x]=0;
}

void solve(){
	sort(in+1,in+1+k,cmp);
	for(int i=1;i<=k;i++) is_q[in[i]]=1;
	int root=lca(in[1],in[2]);
	for(int i=3;i<=k;i++){
		root=lca(root,in[i]);
	}
	top=0;
	s[++top]=root;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		if(in[i]!=root)insert(in[i]);
	}
	while(top>1){
		T2.add_edge(s[top-1],s[top]);
//		printf("vtree : %d->%d\n",s[top-1],s[top]);
		top--;
	}
	ans_sum=0;
	ans_max=0;
	ans_min=INF;
	dfs2(root,0);
	ans_sum=sum[root];
	for(int i=1;i<=k;i++) is_q[in[i]]=0;
	T2.sz=1;
}


int main(){
#ifdef FILE_IO
	freopen("tree9.in","r",stdin);
	freopen("tree9.ans","w",stdout);
#endif
	int u,v;
	qread(n);
	log2n=log2(n)+1;
	bin[0]=1;
	for(int i=1;i<=log2n;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;
	for(int i=1;i<n;i++){
		qread(u);
		qread(v);
		T1.add_edge(u,v);
	}
	dfs1(1,0);
	qread(m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		qread(k);
		for(int j=1;j<=k;j++){
			qread(in[j]);
		}
		solve();
		qprint(ans_sum);putchar(' ');
		qprint(ans_min);putchar(' ');
		qprint(ans_max);putchar('\n');
	}
}