BZOJ 1937 (luogu 4412) (KM+LCA)

题面

传送门

分析

根据贪心的思想我们得到几条性质：

1.生成树上的边权减小，非树边的边权增加

2.每条边最多被修改一次

设改变量的绝对值为d

对于一条非树边\(j:(u,v)\)，树上u->v的路径上的任意一条边i的边权\(w_i\leq j\)，否则把i替换成j可以得到一棵更小的生成树

因此有\(w_i-d_i \leq w_j+d_j\)

转换一下有\(w_i-w_j \leq d_i+d_j\)

发现形式和KM算法中的顶标很相似，所以把原图中的边看成点，变化值为顶标，新图的边权\(w_i-w_j\)

跑KM算法即可

实现中需要注意几个细节：

由于两边的点数不一定=n,所以要加虚点，把两边的点补成n,左部虚点i和右部1~n连边，边权为0 ，右部同理

代码中只要把邻接矩阵的初始值全部设为0即可,这样相当于该虚点和任意点都可以匹配，且权值为0

匹配其他的点时如果发现不满足，就把虚点的匹配点换一下 ,KM算法结束后这个点随便匹配另一个点即可，因为权值为0，不影响答案

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<utility>
#define maxn 55
#define maxm 805
#define maxlog 32
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m;
int is_tree[maxm];
map<pair<int,int>,int>edge_id;
struct edge {
	int from;
	int to;
	int len;
	int next;
} G[maxm<<1],T[maxm<<1];
int sz=1;
int head[maxn];
void add_edge1(int u,int v) {
	sz++;
	T[sz].from=u;
	T[sz].to=v;
	T[sz].next=head[u];
	head[u]=sz;
}

int log2n;
int deep[maxn];
int anc[maxn][maxlog];
void dfs1(int x,int fa) {
	deep[x]=deep[fa]+1;
	anc[x][0]=fa;
	for(int i=1; i<=log2n; i++) {
		anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=head[x]; i; i=T[i].next) {
		int y=T[i].to;
		if(y!=fa) {
			dfs1(y,x);
		}
	}
}

int lca(int x,int y) {
	if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
	for(int i=log2n; i>=0; i--) {
		if(deep[anc[x][i]]>=deep[y]) x=anc[x][i];
	}
	if(x==y) return x;
	for(int i=log2n; i>=0; i--) {
		if(anc[x][i]!=anc[y][i]) {
			x=anc[x][i];
			y=anc[y][i];
		}
	}
	return anc[x][0];
}


int dist[maxm][maxm];

void add_edge2(int u,int v,int w){
	w=max(w,0);
//	printf("debug:%d %d\n",u,v);
	dist[u][v]=w; 
}

void make_graph(int x,int y,int ed){
	int l=lca(x,y);
	if(x==l){
		for(int i=y;i!=l;i=anc[i][0]){
			int t=edge_id[make_pair(i,anc[i][0])];
			add_edge2(t,ed,G[t].len-G[ed].len);
		}
	}else if(y==l){
		for(int i=x;i!=l;i=anc[i][0]){
			int t=edge_id[make_pair(i,anc[i][0])];
			add_edge2(t,ed,G[t].len-G[ed].len);
		}
	}else{
		for(int i=x;i!=l;i=anc[i][0]){
			int t=edge_id[make_pair(i,anc[i][0])];
			add_edge2(t,ed,G[t].len-G[ed].len);
		}
		for(int i=y;i!=l;i=anc[i][0]){
			int t=edge_id[make_pair(i,anc[i][0])];
			add_edge2(t,ed,G[t].len-G[ed].len);
		}
	}
}

int la[maxm];
int lb[maxm];
int match[maxm];
int va[maxm];
int vb[maxm]; 
int delta;
int dfs2(int x){
	va[x]=1;
	for(int y=1;y<=m;y++){
		if(!vb[y]){
			if(la[x]+lb[y]==dist[x][y]){
				vb[y]=1;
				if(!match[y]||dfs2(match[y])){
					match[y]=x;
					return 1;
				}
			}
		}
	}
	return 0;
}

int KM(){
	for(int i=1;i<=m;i++){
		la[i]=-INF;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			la[i]=max(la[i],dist[i][j]);
		}
		lb[i]=0;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		while(1){
			memset(va,0,sizeof(va));
			memset(vb,0,sizeof(vb));
			delta=INF;
			if(dfs2(i)) break;
			for(int j=1;j<=m;j++){
				if(!va[j]) continue;
				for(int k=1;k<=m;k++){
					if(!vb[k]){
						delta=min(delta,la[j]+lb[k]-dist[j][k]);
					}
				}
			}
			for(int j=1;j<=m;j++){
				if(va[j]) la[j]-=delta;
				if(vb[j]) lb[j]+=delta;
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		ans+=dist[match[i]][i];
	}
	return ans;
}


int main() {
	scanf("%d %d",&n,&m);
	log2n=log2(n)+1;
	int u,v,w;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
		G[i].from=u;
		G[i].to=v;
		G[i].len=w;
		edge_id[make_pair(u,v)]=edge_id[make_pair(v,u)]=i;
	}
	int p;
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d %d",&u,&v);
		p=edge_id[make_pair(u,v)];
		add_edge1(u,v);
		add_edge1(v,u);
		is_tree[p]=1;
	}
	dfs1(1,0);
//	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(!is_tree[i]) make_graph(G[i].from,G[i].to,i);
	}
//	for(int i=1;i<=m;i++){
//		for(int j=1;j<=m;j++){
//			if(dist[i][j]==INF) printf("INF ",dist[i][j]);
//			else printf("%d	",dist[i][j]);
//		}
//		printf("\n");
//	}
	printf("%d\n",KM());
}