数学相关-组合数学 - 随笔分类 - birchtree

[SDOI2017]遗忘的集合(多项式ln+生成函数+莫比乌斯反演)

摘要：[SDOI2017]遗忘的集合(多项式ln+生成函数+莫比乌斯反演) 题面略分析设

a_{i} = [i \in S]

$a_i=[i \in S]$ ,那么元素

i

$i$ 的生成函数为

(\frac{1}{1 - x i})

$(\frac{1}{1-xi})$ ,答案的生成函数为

f (x) = \prod_{i \geq 1} (\frac{1}{1 - x i})

$f(x)=\prod_{i \geq 1}(\frac{1}{1-xi})$ . 现在题目已经给出了阅读全文

posted @ 2020-08-03 17:01 birchtree 阅读(237) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[LuoguP4841]城市规划(多项式ln+生成函数)

摘要：[LuoguP4841]城市规划(多项式ln+生成函数) 题面求

n

$n$ 个顶点的有标号连通简单无向图的个数(简单指的是无重边自环)。(

n \leq 10^{5}

$n \leq 10^5$ ) 分析

n

$n$ 个点的简单无向图有

2^{\binom{2}}

$2^{\binom{2}}$ 个,设G是所有无向图,那么G的EGF为 \(G(x)=\sum_{n=0 阅读全文

posted @ 2020-08-03 16:12 birchtree 阅读(192) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二项式反演学习笔记

摘要：二项式反演学习笔记二项式反演(Binomial Inversion)是一种反演,它基于容斥原理.它可以把计数问题中求解"恰好X个的方案数"转化为求解"至少X个的方案数",让问题变得更简单。约定:

C_{n} m

$C_nm$ 表示从

n

$n$ 个数里选

m

$m$ 个数的方案数,等价于

\binom

$\binom$ .另外为了方便推式子,规定阅读全文

posted @ 2020-04-30 21:40 birchtree 阅读(1717) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[LuoguP4859]P4859 已经没有什么好害怕的了(二项式反演)

摘要：[LuoguP4859]P4859 已经没有什么好害怕的了(二项式反演) 题面已经使 Madoka 有签订契约，和自己一起战斗的想法后，Mami 忽然感到自己不再是孤单一人了呢。于是，之前的谨慎的战斗作风也消失了，在对 Charlotte 的傀儡使用终曲——Tiro Finale 后，Mami 阅读全文

posted @ 2020-04-29 21:47 birchtree 阅读(177) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOIOnline2提高组]游戏(二项式反演+树形背包)

摘要：[NOIOnline2提高组]游戏(二项式反演+树形背包).md 题面略分析二项式反演的套路,设

f (i)

$f(i)$ 为非平局回合数至少为

i

$i$ 的情况.

g (i)

$g(i)$ 为非平局回合数恰好为

i

$i$ 的情况,则

f (i) = \sum_{j = i}^{m} C_{j}^{i} g (j)

$f(i)=\sum_{j=i}^m C_j^i g(j)$ .(这里的"至少"指的是我们"钦定"有$i 阅读全文

posted @ 2020-04-29 21:17 birchtree 阅读(192) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ2839] 集合计数(二项式反演)

摘要：[BZOJ2839] 集合计数(二项式反演) 题面一个有N个元素的集合有

2 N

$2N$ 个不同子集（包含空集），现在要在这

2 N

$2N$ 个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。分析二项式反演套路题。把恰好转化为最少。设

f_{i}

$f_i$ 表示交集阅读全文

posted @ 2020-04-28 07:47 birchtree 阅读(412) 评论(1) 推荐(1) 编辑

[LuoguP6144][USACO20FEB]Help Yourself P(DP+组合数学+线段树)

摘要：[LuoguP6144][USACO20FEB]Help Yourself P(DP+组合数学+线段树) 题面 Bessie 现在有 N条在一条数轴上的线段，第 i条线段覆盖了

" l_{i}, r_{i} "

$"l_i,r_i"$ 的所有实数。定义一个线段集合的并为所有至少被一条线段覆盖的实数。定义一个线段集合的复杂度为该集合阅读全文

posted @ 2020-03-23 22:03 birchtree 阅读(311) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[Codeforces 1295D]Same GCDs(欧拉函数或分解质因数+容斥原理)

摘要：[Codeforces 1295D]Same GCDs(欧拉函数+分解质因数) 题面已知正整数

a, m

$a,m$ ,求有多少个正整数

x

$x$ 满足

0 \leq x 法 二 (欧 拉 函 数) : 根 据 辗 转 相 除 法

$0 \leq x 法二(欧拉函数): 根据辗转相除法$ $\begin{aligned}\sum_{x = 0}^{m 1} [\gcd(a, m) = \gcd( 阅读全文

posted @ 2020-01-31 20:48 birchtree 阅读(393) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[Codeforces 1295F]Good Contest(DP+组合数学)

摘要：[Codeforces 1295F]Good Contest(DP+组合数学) 题面有一个长度为

n

$n$ 的整数序列,第

i

$i$ 个数的值在

[l_{i}, r_{i}]

$[l_i,r_i]$ 中随机产生。问这个序列是一个不上升序列的概率(模

998244353

$998244353$ 意义下)。 $n \leq 50,l_i,r_i \leq 9982443 阅读全文

posted @ 2020-01-31 19:10 birchtree 阅读(451) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[Codeforces 266E]More Queries to Array...(线段树+二项式定理)

摘要：[Codeforces 266E]More Queries to Array...(线段树+二项式定理) 题面维护一个长度为

n

$n$ 的序列

a

$a$ ，

m

$m$ 个操作 1. 区间赋值为

x

$x$ 2. 查询

\sum_{i = l}^{r} a_{i} (i l + 1)^{k} \mod 10^{9} + 7

$\sum_{i=l}^r a_i(i l+1)^k \mod 10^9+7$ $n,m \leq 10^ 阅读全文

posted @ 2019-12-11 13:20 birchtree 阅读(229) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu 3175] [HAOI2015]按位或(min-max容斥+高维前缀和)

摘要：[luogu 3175] [HAOI2015]按位或题面刚开始你有一个数字0，每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n 1]的数字，与你手上的数字进行按位或运算。问期望多少秒后，你手上的数字变成2^n 1。分析前置知识:min max容斥记

max (S)

$\max(S)$ 为集合

S

$S$ 中的最大值,$\min( 阅读全文

posted @ 2019-11-12 17:07 birchtree 阅读(231) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ5306] [HAOI2018]染色(容斥原理+NTT)

摘要：[BZOJ5306] [HAOI2018]染色(容斥原理+NTT) 题面一个长度为 n的序列, 每个位置都可以被染成 m种颜色中的某一种. 如果n个位置中恰好出现了 S次的颜色有 K种, 则小 C 会产生

W_{k}

$W_k$ 的愉悦度. 求对于所有可能的染色方案, 他能获得的愉悦度的和。答案对 100453 阅读全文

posted @ 2019-10-23 20:06 birchtree 阅读(182) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ 3456]城市规划(cdq分治+FFT)

摘要：[BZOJ 3456]城市规划(cdq分治+FFT) 题面求有标号n个点无向连通图数目. 分析设

f (i)

$f(i)$ 表示

i

$i$ 个点组成的无向连通图数量,

g (i)

$g(i)$ 表示

i

$i$ 个点的图的数量。显然

g (i) = 2^{C_{i}^{2}}

$g(i)=2^{C_i^2}$ 种，但是我们要把不联通的去掉。枚举1号点所在联通块大小

j

$j$ .从剩下$i 阅读全文

posted @ 2019-10-21 21:01 birchtree 阅读(243) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ 3771] Triple(FFT+容斥原理+生成函数)

摘要：[BZOJ 3771] Triple(FFT+生成函数) 题面给出 n个物品，价值为别为

w_{i}

$w_i$ 且各不相同，现在可以取1个、2个或3个，问每种价值和有几种情况？分析这种计数问题容易想到生成函数。设生成函数

A (x) = \sum_{i = 1}^{n} x^{w_{i}}

$A(x)=\sum_{i=1}^{n} x^{w_i}$ ，指数为价值，系数为选的方案阅读全文

posted @ 2019-10-21 19:48 birchtree 阅读(388) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[多校联考2019(Round 5 T3)]青青草原的表彰大会(dp+组合数学)

摘要：[多校联考2019(Round 5)]青青草原的表彰大会(dp+组合数学) 题面青青草原上有n 只羊，他们聚集在包包大人的家里，举办一年一度的表彰大会，在这次的表彰大会中，包包大人让羊们按自己的贡献从小到大排成一排，以便于发放奖金。每只羊都会得到数值在 1~m 的奖金，并且第 i 只羊的奖金应为第阅读全文

posted @ 2019-10-06 09:09 birchtree 阅读(182) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu5339] [TJOI2019]唱、跳、rap和篮球(容斥原理+组合数学)(不用NTT)

摘要：[luogu5339] [TJOI2019]唱、跳、rap和篮球(容斥原理+组合数学)(不用NTT) 题面略分析首先考虑容斥，求出有i堆人讨论的方案。可以用捆绑法，把每堆4个人捆绑成一组，其他人每个人一组。这样一共有

n 3 i

$n 3i$ 组(这些组可以被看成相同的点)。我们从中选出n 4i个点，这些阅读全文

posted @ 2019-09-26 21:45 birchtree 阅读(230) 评论(0) 推荐(1) 编辑

用生成函数推导数列的通项公式(重制版)

摘要：用生成函数推导数列的通项公式(重制版) 约定:

[p (x)] = {\begin{cases} 1, p (x) 为真 \\ 0, p (x) 为假 \end{cases}

$[p(x)]=\begin{cases}1 ,p(x)\text{为真}\\0,p(x)\text{为假} \end{cases}$

f^{n} (x) \(表 示 \) (f (x))^{n}

$f^n(x)$表示$(f(x))^n$

f^{(n)} (x)

$f^{(n)}(x)$ 表示

f (x)

$f(x)$ 的

n

$n$ 阶导数,一阶和二阶阅读全文

posted @ 2019-09-23 22:06 birchtree 阅读(2808) 评论(5) 推荐(2) 编辑

[Codeforces722E] Research Rover （dp+组合数学）

摘要：[Codeforces722E] Research Rover （dp+组合数学）题面给出一个N M的方格阵，从(1,1)出发，到(N,M)结束，从(x,y)只能走到(x+1,y)或(x,y+1)。方格阵上还有K个特殊点，初始时给出的分数t每经过一个特殊点就会变成

[\frac{t}{2}]

$[\frac{t}{2}]$ 。阅读全文

posted @ 2019-07-24 18:35 birchtree 阅读(265) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[Codeforces 997C]Sky Full of Stars(排列组合+容斥原理)

摘要：[Codeforces 997C]Sky Full of Stars(排列组合+容斥原理) 题面用3种颜色对

n \times n

$n×n$ 的格子染色，问至少有一行或一列只有一种颜色的方案数。

(n \leq 10^{6})

$(n≤10^6)$ 分析显然任意染色的方案数为

3^{n^{2}}

$3^{n^2}$ ,我们考虑求出没有一行一列只有一种颜色的方案数，然后相减。阅读全文

posted @ 2019-07-18 09:36 birchtree 阅读(310) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[HDU 3625]Examining the Rooms (第一类斯特林数)

摘要：[HDU 3625]Examining the Rooms (第一类斯特林数) 题面有n个房间，每个房间有一个钥匙，钥匙等概率的出现在n个房间内，每个房间中只会出现且仅出现一个钥匙。你能炸开门k次，问你能进入所有房间的概率。特殊要求：不能炸1号房间的门。 T组询问 T include includ 阅读全文

posted @ 2019-07-17 22:09 birchtree 阅读(199) 评论(0) 推荐(1) 编辑

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