数学相关-数论 - 随笔分类 - birchtree

[LuoguP4808][CCC 2018]平衡树(数论分块+记忆化搜索)(有复杂度证明)

摘要：[LuoguP4808][CCC 2018]平衡树(数论分块+记忆化搜索)(有复杂度证明) 题面我们定义「完美平衡树」如下：每棵完美平衡树都有一个正整数权值。权值为

1

$1$ 的完美平衡树为只含有

1

$1$ 个节点的树。否则，这棵树的权值为

w (w \geq 2)

$w(w\ge2)$ ，则这棵树为一棵含有 \(k(2\ 阅读全文

posted @ 2020-12-03 16:41 birchtree 阅读(137) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2017]遗忘的集合(多项式ln+生成函数+莫比乌斯反演)

摘要：[SDOI2017]遗忘的集合(多项式ln+生成函数+莫比乌斯反演) 题面略分析设

a_{i} = [i \in S]

$a_i=[i \in S]$ ,那么元素

i

$i$ 的生成函数为

(\frac{1}{1 - x i})

$(\frac{1}{1-xi})$ ,答案的生成函数为

f (x) = \prod_{i \geq 1} (\frac{1}{1 - x i})

$f(x)=\prod_{i \geq 1}(\frac{1}{1-xi})$ . 现在题目已经给出了阅读全文

posted @ 2020-08-03 17:01 birchtree 阅读(237) 评论(0) 推荐(0) 编辑

浅谈二次剩余

摘要：浅谈二次剩余定义:对于正整数

p, n

$p,n$ ,若存在

x

$x$ 使得

x^{2} \equiv n (mod p)

$x^2 \equiv n(\bmod\ p)$ .则称

n

$n$ 是模

p

$p$ 的二次剩余。(在本文中我们只考虑

p

$p$ 为奇质数的情况) 勒让德括号,欧拉判别准则下面引入勒让德括号,它可以简化讨论: \(\left(\frac{n}{p}\right) 阅读全文

posted @ 2020-07-28 10:59 birchtree 阅读(760) 评论(0) 推荐(0) 编辑

快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT)

摘要：再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT) 写在前面为了不使篇幅过长，预计将把学习笔记分为四部分: DFT,IDFT,FFT的定义,实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) NTT的实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二) 任意模数NTT与FFT的优化技巧多项阅读全文

posted @ 2020-02-07 16:09 birchtree 阅读(1092) 评论(1) 推荐(2) 编辑

[Codeforces 1295D]Same GCDs(欧拉函数或分解质因数+容斥原理)

摘要：[Codeforces 1295D]Same GCDs(欧拉函数+分解质因数) 题面已知正整数

a, m

$a,m$ ,求有多少个正整数

x

$x$ 满足

0 \leq x 法 二 (欧 拉 函 数) : 根 据 辗 转 相 除 法

$0 \leq x 法二(欧拉函数): 根据辗转相除法$ $\begin{aligned}\sum_{x = 0}^{m 1} [\gcd(a, m) = \gcd( 阅读全文

posted @ 2020-01-31 20:48 birchtree 阅读(393) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[Codeforces 1246B] Power Products (STL+分解质因数)

摘要：[Codeforces 1246B] Power Products (STL+分解质因数) 题面给出一个长度为

n

$n$ 的序列

a_{i}

$a_i$ 和常数k,求有多少个数对

(i, j)

$(i,j)$ 满足

a_{i} \times a_{j} = x^{k} (x \in N^{+})

$a_i \times a_j = x^k (x \in \mathbb{N}^+)$ 。即这两个数乘起来恰好为一个正整数的$ 阅读全文

posted @ 2019-10-26 22:55 birchtree 阅读(326) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ 3992] [SDOI 2015] 序列统计(DP+原根+NTT)

摘要：[BZOJ 3992] [SDOI 2015] 序列统计(DP+原根+NTT) 题面小C有一个集合S，里面的元素都是小于质数 M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为N的数列，数列中的每个数都属于集合S。小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：阅读全文

posted @ 2019-10-23 20:34 birchtree 阅读(182) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ 3512]DZY Loves Math IV(杜教筛)

摘要：[BZOJ 3512]DZY Loves Math IV(杜教筛) 题面求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} φ (i j)

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\varphi (ij)$

n \leq 10^{5}, m \leq 10^{9}

$n \leq 10^5,m \leq 10^9$ 分析首先要记住欧拉函数的一个性质若

n, m

$n,m$ 的质因子种类相同，只是指数不同，则$\va 阅读全文

posted @ 2019-09-01 15:20 birchtree 阅读(588) 评论(0) 推荐(4) 编辑

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛)

摘要：[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面我们知道，从区间

[L, R] \(（ L 和 R 为 整 数 ） 中 选 取 N 个 整 数 ， 总 共 有 \) (R - L + 1)^{N}

$[L,R]$（L和R为整数）中选取N个整数，总共有$(R-L+1)^N$ 种方案。求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。 \(N, 阅读全文

posted @ 2019-08-31 11:00 birchtree 阅读(259) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ 2154]Crash的数字表格(莫比乌斯反演)

摘要：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} l c m (i, j)

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)$ 阅读全文

posted @ 2019-08-31 10:30 birchtree 阅读(188) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ 3944]sum(杜教筛)

摘要：[BZOJ 3944]sum(杜教筛) 题面求

μ

$\mu$ 和

φ

$\varphi$ 的前缀和分析套路公式: 我们要求

f

$f$ 的前缀和,构造两个函数

g, h

$g,h$ 满足

h = f g

$h=f g$ ,

F, G, H

$F,G,H$ 为它们的前缀和 $$g(1)F(n)=H(n) \sum_{d=2}^n g(d) F(\frac{n}{d}) 阅读全文

posted @ 2019-08-30 20:34 birchtree 阅读(256) 评论(0) 推荐(1) 编辑

莫比乌斯反演+常见数论函数的性质+狄利克雷卷积+数论分块+杜教筛学习笔记

摘要：一些约定本文中所有未知数如没有特别说明，均为整数

gcd (a, b)

$\gcd(a,b)$ 表示a,b的最大公约数

a | b

$a|b$ 表示a能整除b

[表 达 式] \(表 示 表 达 式 成 立 的 时 候 为 1 ， 不 成 立 的 时 候 为 0. 如 \) [n = 1]

$[表达式]$表示表达式成立的时候为1，不成立的时候为0.如$[n=1]$ 在

n = 1

$n=1$ 的时候为1，否则为０

ω (n)

$\omega(n)$ 表示n本质不同的质因子个数在没有说明的情阅读全文

posted @ 2019-08-30 17:43 birchtree 阅读(1224) 评论(6) 推荐(2) 编辑

[APIO 2010] [LOJ 3144] 奇怪装置 (数学)

摘要：[APIO 2010] [LOJ 3144] 奇怪装置 (数学) 题面略分析考虑t1,t2时刻坐标相同的条件 $$\begin{cases} t_1+\lfloor \frac{t_1}{B} \rfloor \equiv t_2+\lfloor \frac{t_2}{B} \rfloor ( 阅读全文

posted @ 2019-08-22 16:58 birchtree 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ 2820] YY的gcd(莫比乌斯反演)

摘要：[BZOJ 2820] YY的gcd(莫比乌斯反演+数论分块) 题面给定N, M,求

1 \leq x \leq N, 1 \leq y \leq M

$1\leq x\leq N, 1\leq y\leq M$ 且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对。q组询问分析我们要求的是 \(\sum_{p \in P} \sum_{i=1}^n \sum_{j 阅读全文

posted @ 2019-08-16 22:13 birchtree 阅读(275) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOI 3994] [SDOI2015]约数个数和(莫比乌斯反演+数论分块)

摘要：[BZOI 3994] [SDOI2015]约数个数和题面设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} d (i \times j)

$\sum _{i=1}^n \sum_{i=1}^m d(i \times j)$ T组询问，

N, M, T \leq 50000

$N,M,T \leq 50000$ 分析首先有一个结论 $$d(nm)= \sum _{i |n} 阅读全文

posted @ 2019-08-15 22:08 birchtree 阅读(263) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ 2301] [HAOI 2011] Problem b (莫比乌斯反演)(有证明)

摘要：[BZOJ 2301] [HAOI 2011] Problem b (莫比乌斯反演)(有证明) 题面 T组询问，每次给出a,b,c,d,k,求

\sum_{i = a}^{b} \sum_{j = c}^{d} [g c d (i, j) = k]

$\sum _{i=a}^b\sum _{j=c}^d[gcd(i,j)=k]$

T, a, b, c, d, k \leq 5 \times 10^{4}

$T,a,b,c,d,k\le 5\times 10^4$ 分析 $O(n^ 阅读全文

posted @ 2019-08-14 22:11 birchtree 阅读(305) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[Codeforces 1178D]Prime Graph (思维+数学)

摘要：Codeforces 1178D (思维+数学) 题面给出正整数n（不一定是质数），构造一个边数为质数的无向连通图（无自环重边），且图的每个节点的度数为质数分析我们先构造一个环,每个点的度数都是2。但由于n不一定是质数，我们还需要再加k条边。然后对于

i \in [1, k]

$i \in [1,k]$ ,我们加边(i,i 阅读全文

posted @ 2019-07-21 11:24 birchtree 阅读(310) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[Codeforces 316E3]Summer Homework(线段树+斐波那契数列)

摘要：[Codeforces 316E3]Summer Homework(线段树+斐波那契数列) 顺便安利一下这个博客,给了我很大启发(https://gaisaiyuno.github.io/) 题面有一个数列

f_{i}

$f_i$ 满足

f_{0} = f_{1} = 1, f_{i} = f_{i 1} + f_{i 2} (i 2)

$f_0=f_1=1,f_i=f_{i 1}+f_{i 2}(i 2)$ (就是阅读全文

posted @ 2019-07-18 17:57 birchtree 阅读(377) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[Codeforces 364D]Ghd(随机算法+gcd)

摘要：[Codeforces 364D]Ghd(随机算法) 题面给出n个正整数，在其中选出n/2(向上取整)个数，要求这些数的最大公约数最大，求最大公约数的最大值分析每个数被选到的概率

\geq \frac{1}{2}

$\geq \frac{1}{2}$ ，因此每次随机选出一个数x，选k次，对于每个数处理出它所能得到的最大答案。显然最阅读全文

posted @ 2019-07-17 21:53 birchtree 阅读(480) 评论(0) 推荐(1) 编辑

Codeforces 1114C(数论)

摘要：题面 "传送门" 分析我们先考虑n!在10进制下有多少个0 由于10=2 5, 我们考虑n!的分解式中5的指数，答案显然等于$\frac{n}{5}+\frac{n}{5^2}+\frac{n}{5^3}+\dots\frac{n}{5^k}(\frac{n}{5^k}\geq 1,\frac{n 阅读全文

posted @ 2019-02-11 09:02 birchtree 阅读(522) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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