数学相关 - 随笔分类 - birchtree

高斯-约旦消元法中的一个细节

摘要：首先给出几个定义: 非零行:矩阵至少有一个非零元素的行矩阵中非零行的先导元素指的是该行最左边的非零元素（感觉这个名称有点多余）一个矩阵为**(行)阶梯型**((row) echelon form),若它有以下三个性质: 每一非零行都在每一零行的上面某一行的最左边的非零元素位于前一行最左边的非零阅读全文

posted @ 2022-07-13 18:32 birchtree 阅读(161) 评论(0) 推荐(0) 编辑

集合幂级数的ln和exp运算及组合意义

摘要：集合幂级数的ln和exp运算及组合意义子集卷积设

f, g, h

$f,g,h$ 为集合幂级数定义

h

$h$ 为

f

$f$ 和

g

$g$ 的子集卷积

h_{S} = \sum_{L} \sum_{R} f_{L} g_{R} [L \cap R = \emptyset] [L \cup R = S]

$h_S=\sum_{L}\sum_{R} f_L g_R [L \cap R=\emptyset][L \cup R=S]$ 注意到$[L \cap R=\emptyset][ 阅读全文

posted @ 2021-03-14 12:01 birchtree 阅读(2204) 评论(3) 推荐(1) 编辑

[LuoguP4808][CCC 2018]平衡树(数论分块+记忆化搜索)(有复杂度证明)

摘要：[LuoguP4808][CCC 2018]平衡树(数论分块+记忆化搜索)(有复杂度证明) 题面我们定义「完美平衡树」如下：每棵完美平衡树都有一个正整数权值。权值为

1

$1$ 的完美平衡树为只含有

1

$1$ 个节点的树。否则，这棵树的权值为

w (w \geq 2)

$w(w\ge2)$ ，则这棵树为一棵含有 \(k(2\ 阅读全文

posted @ 2020-12-03 16:41 birchtree 阅读(137) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ3684]大朋友和多叉树(拉格朗日反演)

摘要：[BZOJ3684]大朋友和多叉树(拉格朗日反演) 题面给定整数

n

$n$ 和集合

S (1 \notin S)

$S(1 \notin S)$ ,求有

n

$n$ 个节点且每个非叶子节点的儿子数量

\in S

$\in S$ 的无标号有根树的数量。节点的孩子有顺序.

n, | S | \leq 10^{5}

$n,|S|\leq 10^5$ 分析设这些树的OGF为

T (x)

$T(x)$ ,根据定义,一棵树可阅读全文

posted @ 2020-09-18 16:12 birchtree 阅读(176) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2017]遗忘的集合(多项式ln+生成函数+莫比乌斯反演)

摘要：[SDOI2017]遗忘的集合(多项式ln+生成函数+莫比乌斯反演) 题面略分析设

a_{i} = [i \in S]

$a_i=[i \in S]$ ,那么元素

i

$i$ 的生成函数为

(\frac{1}{1 - x i})

$(\frac{1}{1-xi})$ ,答案的生成函数为

f (x) = \prod_{i \geq 1} (\frac{1}{1 - x i})

$f(x)=\prod_{i \geq 1}(\frac{1}{1-xi})$ . 现在题目已经给出了阅读全文

posted @ 2020-08-03 17:01 birchtree 阅读(237) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[LuoguP4841]城市规划(多项式ln+生成函数)

摘要：[LuoguP4841]城市规划(多项式ln+生成函数) 题面求

n

$n$ 个顶点的有标号连通简单无向图的个数(简单指的是无重边自环)。(

n \leq 10^{5}

$n \leq 10^5$ ) 分析

n

$n$ 个点的简单无向图有

2^{\binom{2}}

$2^{\binom{2}}$ 个,设G是所有无向图,那么G的EGF为 \(G(x)=\sum_{n=0 阅读全文

posted @ 2020-08-03 16:12 birchtree 阅读(192) 评论(0) 推荐(0) 编辑

浅谈二次剩余

摘要：浅谈二次剩余定义:对于正整数

p, n

$p,n$ ,若存在

x

$x$ 使得

x^{2} \equiv n (mod p)

$x^2 \equiv n(\bmod\ p)$ .则称

n

$n$ 是模

p

$p$ 的二次剩余。(在本文中我们只考虑

p

$p$ 为奇质数的情况) 勒让德括号,欧拉判别准则下面引入勒让德括号,它可以简化讨论: \(\left(\frac{n}{p}\right) 阅读全文

posted @ 2020-07-28 10:59 birchtree 阅读(760) 评论(0) 推荐(0) 编辑

再探快速傅里叶变换(FFT)(其四) 多项式操作

摘要：再探快速傅里叶变换(其四) 多项式操作省选前夕爆补一波多项式全家桶,存一些板子多项式乘法不解释。注意如果式子太复杂，直接全部DFT再按原式子算,最后IDFT。这里封装好是为了简化模板代码,而且可以方便的换成任意模数NTT void poly_mul(ll *a,ll *b,ll *c,int 阅读全文

posted @ 2020-07-07 21:13 birchtree 阅读(712) 评论(1) 推荐(0) 编辑

[六省联考2017]分手是祝愿(期望DP)

摘要：[六省联考2017]分手是祝愿(期望DP) 题面略分析先考虑初始状态灭掉所有灯的最小次数

c n t

$cnt$ ,可以从大到小贪心求出。因为每个灯只能被比它大的更新,可以直接从大到小,遇到开的就按灭,同时操作它的约数。复杂度

O (n \log n)

$O(n\log n)$ 如果

c n t \leq k

$cnt \leq k$ ,那么只需要初始时按最小次数操阅读全文

posted @ 2020-05-24 21:36 birchtree 阅读(149) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[JSOI2016]最佳团体(01分数规划+树形背包)

摘要：[JSOI2016]最佳团体(01分数规划+树形背包) 题面 JSOI信息学代表队一共有N名候选人，这些候选人从1到N编号。方便起见，JYY的编号是0号。每个候选人都由一位编号比他小的候选人Ri推荐。如果Ri=0则说明这个候选人是JYY自己看上的。为了保证团队的和谐，JYY需要保证，如果招募了候选人阅读全文

posted @ 2020-05-20 20:40 birchtree 阅读(180) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2014]重建(矩阵树定理)

摘要：[SDOI2014]重建(矩阵树定理) 题面 T 国有 N 个城市，用若干双向道路连接。一对城市之间至多存在一条道路。在一次洪水之后，一些道路受损无法通行。虽然已经有人开始调查道路的损毁情况，但直到现在几乎没有消息传回。幸运的是，此前 T 国政府调查过每条道路的强度，现在他们希望只利用这些信息估阅读全文

posted @ 2020-05-05 21:48 birchtree 阅读(208) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二项式反演学习笔记

摘要：二项式反演学习笔记二项式反演(Binomial Inversion)是一种反演,它基于容斥原理.它可以把计数问题中求解"恰好X个的方案数"转化为求解"至少X个的方案数",让问题变得更简单。约定:

C_{n} m

$C_nm$ 表示从

n

$n$ 个数里选

m

$m$ 个数的方案数,等价于

\binom

$\binom$ .另外为了方便推式子,规定阅读全文

posted @ 2020-04-30 21:40 birchtree 阅读(1717) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[LuoguP4859]P4859 已经没有什么好害怕的了(二项式反演)

摘要：[LuoguP4859]P4859 已经没有什么好害怕的了(二项式反演) 题面已经使 Madoka 有签订契约，和自己一起战斗的想法后，Mami 忽然感到自己不再是孤单一人了呢。于是，之前的谨慎的战斗作风也消失了，在对 Charlotte 的傀儡使用终曲——Tiro Finale 后，Mami 阅读全文

posted @ 2020-04-29 21:47 birchtree 阅读(177) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOIOnline2提高组]游戏(二项式反演+树形背包)

摘要：[NOIOnline2提高组]游戏(二项式反演+树形背包).md 题面略分析二项式反演的套路,设

f (i)

$f(i)$ 为非平局回合数至少为

i

$i$ 的情况.

g (i)

$g(i)$ 为非平局回合数恰好为

i

$i$ 的情况,则

f (i) = \sum_{j = i}^{m} C_{j}^{i} g (j)

$f(i)=\sum_{j=i}^m C_j^i g(j)$ .(这里的"至少"指的是我们"钦定"有$i 阅读全文

posted @ 2020-04-29 21:17 birchtree 阅读(192) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BZOJ2839] 集合计数(二项式反演)

摘要：[BZOJ2839] 集合计数(二项式反演) 题面一个有N个元素的集合有

2 N

$2N$ 个不同子集（包含空集），现在要在这

2 N

$2N$ 个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。分析二项式反演套路题。把恰好转化为最少。设

f_{i}

$f_i$ 表示交集阅读全文

posted @ 2020-04-28 07:47 birchtree 阅读(412) 评论(1) 推荐(1) 编辑

动态DP学习笔记

摘要：动态DP学习笔记约定: 若无特别说明,数组下标从1开始. 若无特别说明,矩阵的下标从0开始(这是为了和代码一致，而代码这样实现是为了节省内存) 在公式中,矩阵用粗斜体表示,如

\bm

$\bm$ 若无特别说明,对于有根树上的结点

x

$x$ ,

c h i l d (x)

$child(x)$ 表示它儿子的集合,

s o n (x)

$son(x)$ 表示它的重儿子对阅读全文

posted @ 2020-04-11 20:03 birchtree 阅读(292) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[LuoguP6144][USACO20FEB]Help Yourself P(DP+组合数学+线段树)

摘要：[LuoguP6144][USACO20FEB]Help Yourself P(DP+组合数学+线段树) 题面 Bessie 现在有 N条在一条数轴上的线段，第 i条线段覆盖了

" l_{i}, r_{i} "

$"l_i,r_i"$ 的所有实数。定义一个线段集合的并为所有至少被一条线段覆盖的实数。定义一个线段集合的复杂度为该集合阅读全文

posted @ 2020-03-23 22:03 birchtree 阅读(311) 评论(0) 推荐(0) 编辑

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT)

摘要：![8718367adab44aedf83ea643bf1c8701a18bfb21.jpg](https://i.loli.net/2021/06/02/zkdrVnmsYl8Ccjo.jpg) 阅读全文

posted @ 2020-03-12 17:02 birchtree 阅读(3846) 评论(2) 推荐(6) 编辑

[LuoguP5319] [BJOI2019] 奥术神杖 (01分数规划+AC自动机+dp)

摘要：[LuoguP5319] [BJOI2019] 奥术神杖 (01分数规划+AC自动机+dp) 题面神杖上从左到右镶嵌了

n

$n$ 颗奥术宝石，奥术宝石一共有 1010 种，用数字表示。有些位置的宝石已经残缺，用表示，你需要用完好的奥术宝石填补每一处残缺的部分（每种奥术宝石个数不限，且不能够更换未残缺阅读全文

posted @ 2020-02-15 17:55 birchtree 阅读(213) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[Codeforces 553E]Kyoya and Train(期望DP+Floyd+分治FFT)

摘要：[Codeforces 553E]Kyoya and Train(期望DP+Floyd+分治FFT) 题面给出一个

n

$n$ 个点

m

$m$ 条边的有向图(可能有环),走每条边需要支付一个价格

c_{i}

$c_i$ ,需要的时间为

[1, T]

$[1,T]$ 中随机的整数,时间为

j

$j$ 的概率为

p_{i, j}

$p_{i,j}$ 。从

1

$1$ 出发走到

n

$n$ ,如阅读全文

posted @ 2020-02-10 22:13 birchtree 阅读(304) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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