想研究数学看什么书？
想研究数学看什么书？
作者：Hans Spielgarten
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来源：知乎
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声明, 这是一个5年计划, 看数学史之类的书的问题就是看完感觉自己对数学的领悟突然提高了不少, 但是其实是错觉...很多科普性质的书里面介绍了很多"巧妙的"方法解决一些特殊的问题, 但其实"巧妙的"方法背后的数学理论背景都被忽略了.与其关心谁解决了什么问题, 不如直接看问题是怎么被解决的.所以, 以上几点的考虑下, 不如直接看专业书来的明确给力.
我总有种感觉就是, 平常人们认为数学家智商都特别高, 总能想出来各种不寻常的思路解决问题, 但其实是个别数学家想出来不寻常的思路解决问题, 剩下的数学家要把那些不寻常的思路给严谨系统化, 甚至能得到一整套理论什么的, Galois什么的你懂的.
既然还没开始上大学, 直接看太专业的其实也不妥, 而且, 如果就推荐个暑假数目, 估计也看不完多少, 索性直接多推荐一些
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上面的废话说完了之后, 推荐过程如下:智商要求就是指的是, 书中一些推理过程的技巧性的强度, 一般来说, 一些简单的内容反而理解起来更加的不容易. 而一些很深的理论都是从很基础很基础每一步骤的逻辑都特别严密, 根本没有什么技巧可言, 即使有一些技巧, 那些技巧通常也成为了定理了, 比如 Homological algebra里面的spectral sequence, 你说算不算技巧, 算, 用spectral sequence你能轻松愉快的解决很多的关于一些exact sequence的问题, 但是这个技巧本身被当做定理处理了.
----------初学者入门试炼---------智商要求++++++++++++++++++++++++++++++
Knuth 有一本 concrete mathematics, 这本书内容非常有趣, 理论不是特别深, 应用挺广, 有助于没有接触数学的人产生一些对于数学的感觉. 这个人写过 The art of computer programming, 其实也是不错的书,
建议去读.Hardy的 Number theory, 作用跟上面的那本书类似, 不需要什么前置课程, 后面讲到关于解析数论什么的可以先不用看.上面的两本书特别有助于建立逻辑的感觉, 熟悉数学的结构什么的, 一般来说, 如果中学数学学习的不错的逻辑的感觉都还可以, 但是如果觉得需要加强一下的话,
------------初学者升级的选修项目----------智商要求+
集合论和数学逻辑内容: 这方面内容其实没有那么那么的重要, 虽说是数学的根基, 但是对于非专业搞数学逻辑的不用太过于认真, 这两本书的意义在于让你彻底认清数学是在干什么, 数学体系的结构是怎么样的, 数学是什么
Kuratowski 的 set theory
Hinman 的 fundamentals of mathematical logic
--------------初学者升级的核心项目----------智商要求( 看情况 +++)
分析: 好书太多, 但我只看过其中的一小部分, 别说这些书太难, 这些书明明从实数的构造开始一步一步的建立分析理论, 中间没有逻辑跳跃
Roger Godement Analysis 1,2,3,4
（3,4 是讲一些比较不是很基础的东西, 比如3里面是黎曼面, 4里面是广义的傅里叶分析和模函数(目前正在读), 我也是才看到图书馆新到的书.）
Zorich的实分析 1,2
陶哲轩的实分析 1,2
代数: 反正我最喜欢Jacobson的Basic algebra 1,2
Foote/Dummit 的 abstract algebra 也不错, 而且习题网上有答案, 因为是很多学校的主力参考书
如果想更多的了解线性代数:Steven Roman Basic/advanced linear algebra
拓扑学: 因为在别的地方出现太频繁所以建议尽早学习Willard 的 General topology
*几何学: 我不会推荐几何原本的...这个方向的内容太多, 很难找到一个入门的入口之类的, 而且现在的几何学大多建立在分析或者代数之上. 比如 Lee有一本关于公理化的几何学的书, 但是其实是几何原本赏析, 希尔伯特的几何基础还是可以看的.
----------------具有了一定的数学基础----------智商要求++++
复分析, 泛函分析, 调和分析:
E.Stein 的 analysis 1,2,3,4, 除了复分析的内容, 其他其实都有在上面的书里讲到了.
复分析我比较喜欢: 下面的书侧重点是代数方面, Stein的书侧重的是分析
Freitag: Complex analysis 1,2
Kodaira: Complex analysis
泛函:Gelfand 的 generalized functions, 虽然比较古老, 但是很给力
Yosida 的 functional analysis, 是一本比较标准的教材
调和分析:反正我觉得 Stein的 harmonic analysis 就够了
代数:此时你可以有很多种选项了
想看代数几何的话:
Eisenbud 的 commutative algebra ...
Matsumura 的 commutative algebra
Weibel 的 An intro to Homological algebra
然后:
Mumford: the red book
Eisenbud: geometry of schemes
Audun: a royal road to algebraic geometry ( 这本书有个很大的缺点就是它好像入门比较容易, 好像没有什么前置要求, 但是实际上, 一些交换代数的内容根本没有引入就直接使用了, 但是如果不想看 Shafarevich的长篇巨作这个是不错的替代)
Shafarevich, basic algebraic geometry, 这套书是个很标准的教科书, 需要一些交换代数作为前置, 可能篇幅大了一点, 但是如果你一步一步的学到这里了, 篇幅什么的都无所谓了. ( 前面 Foote/Dummit 有 900多页呢 )
我没看过 Hartshorne的, 额其实我是看过的, 但是当时没看交换代数导致没到20页就看不懂了, 后来再就没看, 但是内容上面的书里都有涵盖了已经.
(非)交换代数, Lie algebra, Jordan algebra, Clifford algebra, 及其表示论
T.Y.Lam , a first course in noncommutative rings
T.Y.Lam, courses on modules and rings
Rowan, graduate algebra, noncommutative view
我这方面书来没来得及看...就上面三本, 凑合着吧, 挺好的
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然后, 数学的大门已经完全敞开了,
有人说, 等等, 微分流形, 几何拓扑, 上面完全没有提到啊,当你已经走到了这一步,
你翻开Lee 的 smooth manifolds, 你发现里面的观点其实是scheme的一个特殊的表现形式, 然后你需要一点点实分析, 但是你已经学过了
你翻开Forster的riemann surfaces, 你发现里面的东西其实又是scheme的另一个特殊的表现形式, 你需要一点点复分析和调和分析, 但是你已经学过了
你发现2维紧致闭合曲面的classification是一个很有意思的话题, 这是你或许能在 E.Moise Geometric topology in D2-D3 看到的, 但是对于已经学习过riemann surface的你是没啥大问题的
然后你发现Riemannian geometry似乎用处很大, 于是Kobayashi/Nomizu 的书你会翻开的, 然后你能找到一堆黎曼几何或者黎曼流形的书
然后你发现, 4-manifold 什么的非常有意思, Donaldson/Kronheimer The geometry of 4-manifolds, Freedmann/Quinn Topology of 4-manifolds
然后你发现似乎你需要看 Algebraic topology, 你翻开 Alan Hatcher 的 Algebraic topology, 你发现其实全篇就是在讲homological algebra的应用, 当然还有有一些新的内容
（Hatcher怎么会全是同调代数……无非是UCT和Kunneth公式用了一点Tor和Ext的定义而已。）
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这时, 你回头看看 Hardy的 number theory, 你觉得这些年的努力学习没有白费然后你或许还是对数论略感兴趣:
Henri Cohen, number theory 1,2
algebraic number theory 是个没接触过的内容, 但是看过交换代数的你应该没啥问题
analytic number theory 对于复分析5段的你也应该问题不大
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哦? 你想看偏微分方程?翻开 Evans, partial differential equations, 你发现拥有实分析, 泛函分析, 调和分析, 微分几何基础的你已经不会觉得偏微分有很难了, 不过或许你想看看 Lars Hoermander The analysis of linear partial differential operators
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------这时的你, 肯定应该重新对数学逻辑有个新的认识了, 再回去把前面的数学逻辑的书看看吧-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
这时的你, 打开 Millennium Problems（O网页链接）这里面有一些质量很高的习题, 有一道有习题解答, 剩下的没有, 你知道该干啥了哦.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
发布于 2015-06-09
