【01】Algebraic Geometry
idea
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链接：https://www.zhihu.com/question/321448345/answer/663469784（一个合格的代数几何科班出身的学者，通常都接受过哪些训练？有哪些基本素养？）
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由于代数几何的社区很大，我觉得没有什么东西是必须要学的。
说几个大佬的看法：
1. 我们学校一个做双有理的大佬非常推崇GTM52，他的学生第一年要把GTM52的习题解答一道不漏地邮件发给他看。（没错是俄罗斯人。）
2. 据说张寿武也非常推崇GTM52，他跟一个学生说没刷完GTM52，不要找他聊天。有一次听张寿武做一个public speech，说他当年研究生的时候花了很多时间啃Faltings的Mordell猜想的证明。非常痛苦，但是收益匪浅
3. 有一次Peter Scholze接受采访，问他怎么学的数学。他说他连linear algebra都从来没有系统学过，刚上来就直接去看Harris&Taylor的局部朗兰兹对应的证明。读懂那篇一百多页的论文之后就懂了里面用到的各种数学，还对证明进行了serious的简化，发了四大（invent）
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好了，我没有资格评价大佬的说法，他们的说法都是很对的。
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我就不说应该学什么，而是说说我认为怎么学比较好：
1. 例子比定义重要：与其花很多时间空想为什么应该这样定义，应该去找几个typical的例子，算一算为什么这些例子满足这个定义。记住几个有代表性的例子的图像，而不是去记忆抽象的定义。记忆抽象的语言是很困难的；而倒过来，如果记住了最有代表性的几个例子，归纳一下它们的共同点，就很容易重构出定义
2. 不要花很多时间空想几何意义：刚学的时候会无法理解一些概念的几何意义是什么，原因是你脑子里的例子不够多。等你积累了足够多的例子，自然就能马上看出来一个概念想描述什么
3. “为什么加这些条件？”：学一个定理的时候想一想为什么要加这些条件，去掉某一个条件之后证明为什么会fail？如果你能理解每一个条件起到的作用是什么，你就已经完全理解了这个定理，这个时候阅读定理的证明是次要的
4. 绝大多数时候，阅读证明是浪费时间，尤其是那些繁复的证明：几乎所有文章里的证明，在10年以后，都会得到巨大的简化。有一些ad hoc的方法被替换成了更加conceptual的方法；一些丑陋的workaround，会被替换成更加直接的方法。最关键的是，很多时候证明的idea是简单的，冗长的证明只是为了解决一些纯技术性问题。如果你觉得自己的基本功还需要磨练，那还可以去看看这些技术怎么处理，如果你的基本功很扎实，那么看这些细节完全没有必要
5. 不要纠结在无谓的技术细节，多去吸收一些数学思想
6. 想一想，更进一步，能做什么问题？
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最后补充一句Deligne的话https://www.azquotes.com/quote/909684
All problems in mathematics are psychological.
本质上来讲，学习数学的过程就是一个去陌生化的过程，或者说一个战胜自己内心恐惧的过程。知识是慢慢积累的。你觉得你学懂了一个东西，本质上是【你对它不再恐惧】。学一个东西大致的流程是依次弄清楚
1. 它有什么用？（有哪些熟知的应用）
2. 它的input是什么，output是什么？（作为黑箱子是怎么样的）
3. 它的内部构造大致是什么？
4. 它起作用的本质核心是什么？
5. 它在哪些方向上有改进的可能？
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首先要想想，自己为什么要学代数几何。
比如Hartshorne的代数几何，它其实是EGA SGA体系的缩写和翻译版。Grothendieck的EGA SGA体系主要是为了解决Weil conjecture.（具体可以参见Hartshorne的一个附录）粗略的讲，Weil猜想是一个关于有限域上的簇的zeta函数的一个黎曼猜想的类似物。Weil的伟大之处在于，他提出这个猜想的同时还给出了一个可能的解决方案：那就是建立簇上的上同调理论，由此得到一个所谓Lefschetz不动点个数的计数公式，然后就是一些计算了。这可是很狂野的想法，要知道那个年代大家还对簇的上同调还知之甚少（1946）
在20世纪前半叶出现了很多的（上）同调理论，比如奇异同调群（Veblen, Alexander, Lefschetz），相对同调群（Lefschetz），Vietoris同调群，Cech同调群，Alexander-Spanier同调群等等。在1953年，Eilenberg和Steenrod阐明了著名的同调公理体系，指出对每一个适当的范畴，存在唯一的上同调理论，满足切除啊，正合啊，同伦不变啊之类的性质。
后来就是Cartan Eilenberg在他们的同调代数一书中（1956）系统的使用了导出函子。Eilenberg的学生Buchsbaum定义了abelian category的概念（1955）。有了这些概念，Grothendieck在他的1957年的著名论文中说明了，阿贝尔群层是一个abelian category with enough injectives，从而考虑整体截面函子的右导出函子，就定义了代数几何中的上同调理论。（基本上就是Hartshorne第三章前半部分了）
故事还没完，但Hartshorne就止步于此了。Zariski拓扑太坏（coarse）了，坏到令人发指。比如，一个态射如果它诱导了切空间的同构的话，并不能说明它是局部同胚。比如，纤维丛不再是局部平凡的。所以在Serre的启发下，Grothendieck提出了etale拓扑的概念，在etale拓扑下建立了etale上同调。而这个上同调基本上就是Weil所需要的那个上同调理论。Weil猜想在1964年被Grothendieck的学生Deligne所证明。
代数几何这个研究多项式方程解集的学科就这样与拓扑学产生了联系。Weil猜想解决所发展出来的数学工具就解决了一系列的猜想，比如Mordell猜想，费马大定理等等。
当然这只是代数几何的冰山一角，代数几何还有motif啊，stack啊，Chtoucas啊很多很时髦的词。课上是只可能给你介绍一些最基本的技术性的东西，而且会没完没了。这个时候迷茫是很正常的（除非你是Deligne），过于繁琐的技术性内容足以消磨掉你的耐心。咋办呢？忍着呗！长跑可从来不是件容易的事。我认为，一年读懂Hartshorne你是天才，二到三年是正常水平。为啥？因为随着时间的推移，你对代数几何的概貌会有一个逐渐清晰的认知并且会逐渐的淡化一些无聊的验证定义，这个时候再回过头来看Hartshorne，也就那样了。当然了，这个过程对于唯gpa论的本科生可能不太友好。至于一个月后就忘的问题，我问你，你现在还记得beta函数的定义和性质吗？还会证隐函数定理和多重积分换元吗？这种事情不是问题。我敢保证你再过两年连围线积分都不会算了你信不信？
从本科生选课的角度讲，代数几何就是一门语言，现代数学的抽象废话，高配版的抽象代数，学起来是不舒服。你才本科，学学椭圆曲线，模形式之类的（如果你喜欢数论）或者Hodge理论黎曼曲面（如果你喜欢几何）这些内容详实的东西可能会好一些。希望有所帮助。
