【01】Representation theory

representation theory 表示论都在做什么？几何表示论是什么？

 

作者：Hans Spielgarten
链接：https://www.zhihu.com/question/28116211/answer/39449577 （表示论都在做什么？几何表示论是什么？）
来源：知乎
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数学中, 也有比较具体的研究和抽象的研究,

比如对于抽象的集合我们可以规定这个那个很多描述性的结构, 表示理论就是要具体的找出一个集合具有规定的这个那个的描述性结构.

比如, 一维, 单连通,紧致的李群, 这是对一个集合的抽象的描述, 但是另一方面, 可以证明所有的一维单连通紧致的李群都同构于

这就是一个表示理论的特别简单的例子.

这个问题有意思在哪呢, 比如我想找 一维, 单连通, 紧致, 简单连通的李群, 同样是一个抽象的描述, 但是通过上面的例子, 这样的描述性结构是不存在的, 这就是特别有意思的问题了, 很多情况下我们可能给一个集合很多的描述性的限制条件, 但是我们不知道被描述的集合是不是存在的, 表示理论基本上就是通过集合的抽象的描述性结构找出具体的例子, 如果还能证明找出来的例子是某种意义上唯一的话, 那就更美好了.

如果把表示理论限制在 拓扑群 里面就有点狭隘了, 其实比如说, 希尔伯特空间中的 Riezs representation theorem, 所有的连续线性泛函都可以表示成针对一个元素的内积, 这个思想在泛函里面还挺广泛的, 比如还有, 广义函数的可退化理论, 其实就是一个满足一定条件的广义函数是不是可以被标示成针对一个 函数 的积分. 还有, 函数空间的连续线性泛函是不是能表示成针对一个测度的积分. 还有比如说, 一个复线性的Banach代数如果那个代数是一个 field的话, 那么它是同构于 复数的. 所以 Banach代数的表示理论也很有意思.

与其说, 表示理论是一个理论, 不如说 表示理论是一种数学思想, 是一个试图集合抽象描述的特性和那样的集合的(唯一)存在性和构造一个具体的满足条件的集合, 进而证明集合的抽象描述的更深一步的性质.