【00】Higher Category Theory / Abstract Homotopy Theory
road
作者：Richard
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
可以走Homotopy Theory的路线：
Algebraic Topology
- Simplicial Homotopy / Category Theory
- Higher Category Theory
- Higher Algebra / Higher Geometry
高中时候本来想着走这条路，确实太难了没走下去，不过眼界倒是开了不少。
觉得以你的智商水平可以达到读懂的水平，还可以跟Jacob Lurie之类的professor写邮件交流，说不定就可以拿到推荐信进哈佛了。
另外可以去http://ncatlab.org看看，基本上每天都有更新，这是一个用Higher Category Theory观点重构的数学物理哲学的wiki，基本上所有现代数学相关的术语这里面都有，倒是可以算开眼界了。
答主已经放弃数学这条路了，不过可以给你推荐几个将来的目标：
Jacob Lurie的几个超长paper，虽然我是不推荐读完的，但你如果真的有时间可以去试试。Homotopy Types Theory，这是对数学foundation的一次重构，可以了解一下。
Cohesive Topos，用Higher Category对物理的重构，主要是这本书：https://ncatlab.org/schreiber/show/differential+cohomology+in+a+cohesive+topos
链接：https://www.zhihu.com/question/289615561/answer/531884350（抽象代数、交换代数、同调代数、群表示论、李代数、代数拓扑的学习顺序应该是怎样的？）
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
抽象代数之后，接下来首先应当学习范畴论，以求从一个更高的观点去统一其它你想涉猎的分支。
学范畴论不要硬学干学，而要带着明确目的、在广泛应用范畴论思维的场景里，自然而然地学。在我看来最佳环境就是代数拓扑。不必沉迷经典的代数拓扑；最好是透过几个特定场景里的同伦论，迅速积攒同伦直觉，然后进军抽象同伦论。
在抽象同伦论的世界里，同调代数只是拓扑空间理论的阿贝尔化，研究的不过是阿贝尔范畴——主要是模范畴——里面的单纯对象（链复形）。看起来高大上的导出范畴和导出函子理论不过是范畴的局部化和Kan扩张。
抽象同伦论的一大方向是谱代数（旧称brave new algebra）。谱代数的观点下，交换代数和李代数基本上是一个东西，研究的都是operad的代数和模，区别不过是commutative operad和Lie operad。
看待群表示论的观点有好些，比方说脚踏实地看作群代数的模理论，然后用交换代数的工具处理；或者往高观点走看作群到范畴的一个函子。然后也许就不惊讶于幺半群的表示——实际上就是不限于可逆矩阵/变换；也不惊讶于范畴的表示——实际上就是放弃可复合性，就是不限方矩阵/变换的维数。
在（高阶）范畴论和抽象同伦论的高（地）岗上，从它们所提供的「大一统」式的视角，去俯瞰其它的代数分支，让你能够大致明白这些分支研究的代数对象分别是什么。如果抽象同伦论不足以完全吸引和满足你，自然可以进入任何一个你感兴趣的分支细细品味。它们之中的每个都是一个广袤的世界，而在其中无止境的细化则注定会使得抽象废话无用武之地。但这不代表这些抽象废话失去意义；恰恰相反，抽象废话帮你封装了普遍存在的繁琐细节，替你剥去了形式的外衣，剩下的必然是这个分支的独特的动人之处。从抽象废话失效的地方出发，往往能够迅速了解到这个分支独有的最深刻的思想。
评论里看到你对数论感兴趣；如果你为代数几何在数论里的应用而感到惊奇，大概更应该学习抽象同伦，感受一下处在抽象最前沿的同伦思想，在最经典传统的数学分支里到底能够激起怎样的火花。反正哪怕是对数论一无所知的我，看到明年Arizona Winter School的主题时，确实是精神为之一振的。
【推荐书籍】
nLab ：略碎片化，上面有 Introduction to Topology -- 2 in nLab 和Introduction to Homotopy Theory in nLab 可以用来入门，获得一些直观印象，然后就可以转去看 Emily Riehl 那个书了……另外 Jacob Lurie 现在在搞的那个Kerodon 看起来也不错，虽然现在才写了一章半……
Emily Riehl的Categirial homotopy theory
Jacob Lurie 先后写作了944页的《高阶范畴论》和1553页的《高阶代数》来阐述范畴论的思想。
Kerodon
【唱唱反调】
这种路子要有人带才走得通吧。自己走很容易走火入魔……
我觉得你在坑题主。 高阶范畴论和抽象同论论 现在在数论和算术几何里的应用还太少，只有一部分人支持。也就是说你这个建议只有很小的概率帮助了题主，更大的概率是把题主坑到了一个太窄的领域。抽象的数学有好处，但陷到过渡的抽象里并不见得好。
【反反调】
这是二十一世纪的数学。这是二十一世纪的数学！
