【notes】Elements of Mathematics I : Theory of Sets (by Bourbaki)

一

以下摘自知乎用户“切我”：

 

Théorie des ensembles 是这套书的第一本，有英语译本 Theory of Sets。这个书名容易引起误解，这并不是一本讲集合论的书，这是一本讲集合的理论的书。这两个有什么区别呢？现代的集合论，研究的对象很多时候超出了集合本身。选择公理与ZF公理体系独立，这是集合论里一个经典的问题。注意到它并不是一个关于集合的论断，而是一个关于集合论体系的论断。布尔巴基的这本书基本上是不会涉及这方面的内容的。这本书建立了一个集合论（以及形式逻辑）的体系并探讨了在这个体系下集合的一些性质，全书绝大多数论证都在这个体系内部进行，不会跳到体系之外去探讨这个体系本身的性质。这本书的目的并不是要深入研究集合论，而是建立一套以集合为基础的数学体系，以此出发去发展常规数学。这里我们用常规数学一词指代除了数学基础（包括数理逻辑，集合论等）以外的数学。

 

布尔巴基的集合论跟 ZFC 公理体系基本上是等价的，不同之处主要有三点。第一，布尔巴基的选择公理版本不一样，要稍微强一点。第二，布尔巴基的集合论没有正则性公理。ZFC 引入正则性公理主要是为了研究集合论本身的方便，发展常规数学基本上是用不到这个公理的。布尔巴基没用正则性公理能写出这套书也证明了这一点。第三，布尔巴基使用了很多跟其它地方不太一样的逻辑术语和符号，但它们中的大部分基本上只在第一本书中出现，对其他的书没什么影响。

 

下面我们来看看每一章的具体内容：

 

第一章是逻辑方面的内容，主要是一些逻辑规则和符号（也有部分集合论公理）。这章现在看来价值不大，不必深入研读。只是这一章定义的术语和符号别的地方会用到，所以不能完全忽略。

 

第二章就开始集合论了，六节的主要内容分别是（这里不直译章节名）：几个基本的集合论公理、有序对以及两个集合的直积、二元关系以及函数、一族集合的交与并、一族集合的直积、等价关系。本章的内容一般讲其他集合的书也会有类似的内容，这里除了部分内容讲的比较详细以外没有什么特别的。

 

第三章的名字是有序集、基数、整数，和第二章类似，除最后一节以外大部分都是集合论的标准内容。七节的主要内容分别是：序关系和有序集、良序集、集合的基数、有限集和自然数、自然数的性质（布尔巴基的自然数是由有限集的基数定义的，这一节也会包含一些带余除法、进位制和组合数的内容）、无限集和可数集、集合的反向极限与正向极限。

 

第四章的名字是结构。布尔巴基这套书最大的失误可能就是没在这本书引入范畴的概念了。由于没引入范畴，布尔巴基想在集合上定义一个尽可能广义的结构，引入了 species of structures 这个概念。这个东西和模型论能扯上一点关系，但这本书没有深入到这方面去。这一章的主要目的简单地说就是在不引入范畴的情况下讲一些类似于范畴思想的思想。在范畴概念已经相当普遍的今天，这一章的意义似乎也不大了。

 

总的来说，这一本书放在今天来看确实有些过时。一方面偏离了集合论与数理逻辑的主流，另一方面也没有加入范畴论的内容，导致该书出版（最早的版本1939年，最晚的1970年）至今的大量新成果难以融合进来。这本书现今最主要的价值是布尔巴基其他的书会调用这本书里的结论。

编辑于 2018-12-12

 

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二

20201010 01:06建