NOIP2013 DAY2 T3火车运输
题目描述
A 国有 n 座城市，编号从 1 到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物， 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。
输入输出格式
输入格式：
输入文件名为 truck.in。
输入文件第一行有两个用一个空格隔开的整数 n，m，表示 A 国有 n 座城市和 m 条道
路。 接下来 m 行每行 3 个整数 x、 y、 z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。注意： x 不等于 y，两座城市之间可能有多条道路 。
接下来一行有一个整数 q，表示有 q 辆货车需要运货。
接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意： x 不等于 y 。
输出格式：
输出文件名为 truck.out。
输出共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货
车不能到达目的地，输出-1。
输入输出样例
说明
对于 30%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 10,000，0 < q< 1,000；
对于 60%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 50,000，0 < q< 1,000；
对于 100%的数据，0 < n < 10,000，0 < m < 50,000，0 < q< 30,000，0 ≤ z ≤ 100,000。
这个问题叫最大瓶颈路径。
结论： 最大瓶颈路径一定在最大生成树中。
证明：
反证法。如果最大瓶颈路径不存在与最大生成树中。这些不在最大生成树中的边会和最大生成树形成环。
我们删掉环上最小的边，保留这一条边，会得到一棵新的更大的生成树。这与原来那棵树是最大生成树矛盾了
所以这一题我们就先用kruskal求最小生成树，然后转化为求树上路径的最短边。
对于求最短边，我们只要用求LCA的倍增里面加点东西就行了。
我们设f[i][j]为i节点的第2^j的祖先，设dism[i][j]为从i节点到i的第2^j个节点的最小边长。
然后只要在对f数组进行递推的过程中顺便递推dism数组就行。
递推公式为： dism[i][j] = min(dism[i][j-1],diam[f[i][j-1]][j-1]) 。
递推前需要对dism数组进行初始化全设为最大值。
之后在求，u，v两点的最近公共祖先时，随着点的跳跃二每部进行更新最小值就行了。
另外，在用kruskal建最小生成树时，可能有一些点是不在树上的（因为这些点不连通），所以我们用一个belong数组记录那些点在树上，
当询问时，我们就先判断要询问的两点同不同时在树上，如果不在，输出-1，否则进行求最近公共祖先的过程。
下面是代码，有问题留言。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define N 10009 #define M 50009 using namespace std; int en,n; struct edge{ //存最大生成树的图 int e,d; edge *next; }*v[N],ed[2*N]; void add_edge(int s,int e,int d){ en++; ed[en].next = v[s],v[s] = ed+en,v[s]->e =e; ed[en].d =d; } struct edg{ //存原图 int s,e,d; }ek[M]; int eni; void add_edgei(int s,int e,int d){ eni++; ek[eni].s = s,ek[eni].e = e,ek[eni].d =d; } int fa[N]; int getf(int now){ //并查集 if(fa[now] == now)return now; else return fa[now] = getf(fa[now]); } bool operator <(const edg &a,const edg &b){ //重载运算符 return a.d > b.d; } int belong[N]; void kruskal(){ //建图 for(int a = 1; a <= n; a++)fa[a] =a; sort(ek+1,ek+eni+1); for(int i = 1; i <= eni; i++){ int f1 = getf(ek[i].s); int f2 = getf(ek[i].e); if(f1 != f2){ fa[f2] = f1; add_edge(ek[i].s,ek[i].e,ek[i].d); add_edge(ek[i].e,ek[i].s,ek[i].d); belong[ek[i].s] = 1; //记录当前两点在树上 belong[ek[i].e] = 1; } } } int read(){ //读入优化 int x = 0; char ch = getchar(); while(ch < '0' || ch > '9')ch = getchar(); while(ch >= '0' && ch <= '9'){ x = x * 10 + ch -'0'; ch = getchar(); } return x; } int f[N][25],dism[N][25],deep[N]; bool use[N]; void dfs(int now,int dep){ use[now] = true; deep[now] = dep; for(int k = 1; k <= 19; k++){ int j = f[now][k-1]; f[now][k] = f[j][k-1]; dism[now][k] = min(dism[now][k-1],dism[j][k-1]); } for(edge *e = v[now];e;e=e->next) if(!use[e->e]){ f[e->e][0] = now; dism[e->e][0] = e->d; dfs(e->e,dep+1); } use[now] = false; } int jump(int u,int step,int &minc){ for(int k = 0; k <= 19; k++) if((step & (1 << k))){ minc = min(minc,dism[u][k]); u = f[u][k]; } return u; } int qlca(int u,int v){ if(belong[u] != belong[v])return -1; //u,v,两点不在树上 if(deep[u] < deep[v])swap(u,v); int minc = 100009; u = jump(u,deep[u]-deep[v],minc); for(int k = 19; k >= 0; k--) if(f[u][k] != f[v][k]){ minc = min(dism[v][k],min(minc,dism[u][k])); u = f[u][k]; v = f[v][k]; } if(u == v)return minc; else return min(minc,min(dism[u][0],dism[v][0])); } int main(){ memset(dism,0x3f,sizeof(dism)); int m; n = read(),m = read(); for(int i = 1; i <= m; i++){ int u = read(),v = read(),d = read(); add_edgei(u,v,d); } kruskal(); f[1][0] = 1; dfs(1,0); int q = read(); while(q--){ int u = read(), v =read(); printf("%d\n",qlca(u,v)); //求u,v/路径的最小边 } return 0; }
