NOIP2016 DAY2 T3 愤怒的小鸟
题目描述
Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。
简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。
有一架弹弓位于 (0,0)(0,0) 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 y=ax2+bxy=ax2+bx 的曲线，其中 a,ba,b 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 a<0a<0，a,ba,b 都是实数。
当小鸟落回地面（即 xx 轴）时，它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 nn 只绿色的小猪，其中第 ii 只小猪所在的坐标为 (xi,yi)(xi,yi)。
如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 (xi,yi)(xi,yi)，那么第 ii 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；
如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 (xi,yi)(xi,yi)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 ii 只小猪产生任何影响。
例如，若两只小猪分别位于 (1,3)(1,3) 和 (3,3)(3,3)，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 y=?x2+4xy=?x2+4x 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。
而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。
这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。
假设这款游戏一共有 TT 个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。
输入
从标准输入读入数据。
第一行包含一个正整数 TT，表示游戏的关卡总数。
下面依次输入这 TT 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 n,mn,m，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 nn 行中，第 ii 行包含两个正实数 xi,yixi,yi，表示第 ii 只小猪坐标为 (xi,yi)(xi,yi)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。
如果 m=0m=0，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。
如果 m=1m=1，则这个关卡将会满足：至多用 ?n/3+1??n/3+1? 只小鸟即可消灭所有小猪。
如果 m=2m=2，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 ?n/3??n/3? 只小猪。
保证 1≤n≤181≤n≤18，0≤m≤20≤m≤2，0<xi,yi<100<xi,yi<10，输入中的实数均保留到小数点后两位。
上文中，符号 ?c??c? 和 ?c??c? 分别表示对 cc 向上取整和向下取整，例如：?2.1?=?2.9?=?3.0?=?3.0?=?3.1?=?3.9?=3?2.1?=?2.9?=?3.0?=?3.0?=?3.1?=?3.9?=3。
输出
输出到标准输出。
对每个关卡依次输出一行答案。
输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。
样例一
input
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
output
1
1
explanation
这组数据中一共有两个关卡。
第一个关卡与问题描述中的情形相同，22 只小猪分别位于 (1.00,3.00)(1.00,3.00) 和 (3.00,3.00)(3.00,3.00)，只需发射一只飞行轨迹为 y=?x2+4xy=?x2+4x 的小鸟即可消灭它们。
第二个关卡中有 55 只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y=?x2+6xy=?x2+6x 上，故 Kiana 只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。
样例二
input
3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00
output
2
2
3
样例三
input
1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99
output
6
........................
.........................
.........................
n这么小，除了暴搜就是状压DP，不过因为一个测试点时间是两秒，所以暴搜再多加剪枝也是能过的。
这里说一下状压DP怎么做。
设f[S]为消灭状态集S中的猪头的最少小鸟数。
设attack[i][j]代表小猪i与小猪j拟合的曲线能杀死的小猪（用二进制保存）。
所以很明显状态转移方程为： f[S+S'] = min(f[S+S'],f[S]+1) 其中S'也为状态集。
所以我们需要预处理出attack数组，然后进行DP；
这样在NOIP考试时能过的。‘
但是！！
洛谷会卡常数....
所以要进行优化...
我们在枚举每个状态的时候，只要枚举该状态第一个没出现的小猪j，然后固定j，再枚举一个k，当j == k时，就将第j只猪塞进去状态转移。
当j不等于k时，还要判断第k个点和第j个点能不能拟合成一条曲线，如果不能，则跳过，否则就进行状态转移。
为什么？
因为第j只猪迟早会被打死。
下面贴代码，足够详细，如果有问题，在下面留言。
//f[s] 表示打死状态s中的猪至少要用的小鸟数 //attack[i][j]表示i,j点拟合的曲线能打死的小猪组成的状态 //很明显的，动态转移方程为; f[s+s'] = min(f[s+s'],f[s]+1) s'为一状态集 #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #define N (1 << 18)+1 #define M 20 using namespace std; double x[M],y[M]; int f[N]; int attack[M][M]; bool is_equ(double xx,double yy){ return fabs(xx-yy) < 1e-6; } int main(){ int T; scanf("%d",&T); while(T--){ memset(f,0x3f,sizeof(f)); memset(attack,0,sizeof(attack)); int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); int mx = (1 << n)-1; for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]); for(int i = 1; i < n; i++) for(int j = i+1; j <= n; j++){ //j从i+1开始，减少重复计算 if(is_equ(x[i],x[j]))continue; //不在同一条曲线上 double a = (y[j]/x[j]-y[i]/x[i])/ (x[j]-x[i]); if(a >= 0)continue; //题目要求a小于0 double b =y[i]/x[i]-a*x[i]; for(int k = 1; k <= n; k++) //每算出一条曲线，就进行匹配，看能拟合那些点 if(is_equ(a*x[k]+b,y[k]/x[k]))attack[i][j] |= (1 << (k-1)); //能拟合就并过去 } f[0] = 0; //初始状态 for(int i = 0; i <= mx; i++) for(int j = 1; j <= n; j++) if(!(i & (1 << (j-1)))){ //只枚举从1到n第一次没出现的猪，因为第j只猪迟早都是要被打死的 for(int k = j; k <= n; k++){ if(k == j)f[i | (1 << (j-1))] = min(f[i | (1 << (j-1))],f[i]+1); //当只装一只新猪时的状态转移 if(is_equ(x[k],x[j]))continue; //横坐标相等说明 ，j和k不能拟合成一条曲线 f[i | (attack[j][k])] = min(f[i | attack[j][k]],f[i]+1); //如果能拟合成一条曲线则更新状态 } break; //只枚举第一只猪 } printf("%d\n",f[mx]); //其实那个m没什么用 } return 0; }
