工数上笔记

阅读目录

• 一阶微分方程
• 可降阶的高阶微分方程
• 线性微分方程解的结构【线性代数相关】
• 常系数线性齐次微分方程
• 常系数线性非齐次微分方程(对多阶同样适用)

工数分析上

第五章 常微分方程

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一阶微分方程

• 可分离变量的微分方程:$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$

$$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$

• 齐次方程:$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$

$$\mathrm{设}u=\frac{y}{x}$$

$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=>\mathrm{可}\mathrm{分}\mathrm{离}\mathrm{变}\mathrm{量}$$

• $\frac{dy}{dx}=f(\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1})$

$$\mathrm{若}\frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b}=\lambda$$

$$\mathrm{设}u=ax+by$$

$$\frac{du}{dx}=a+bf(\frac{u+c}{\lambda u+c_1})=>\mathrm{可}\mathrm{分}\mathrm{离}\mathrm{变}\mathrm{量}$$

$$\mathrm{若}\frac{a_1}{a}\ne \frac{b_1}{b}$$

$$\{\begin{array}{r}ax+by+c=0\\ a_{1}x+b_{1}y+c_1=0\end{array}$$

$$\mathrm{求}\mathrm{解}\mathrm{得}x=x_0,y=y_0$$

$$\mathrm{设}\xi =x-x_0,\eta =y-y_0,\frac{dy}{dx}=\frac{d\eta }{d\xi }$$

$$\frac{d\eta }{d\xi }=f(\frac{a\xi +b\eta }{a_1\xi +b_1\eta })=>\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{程}$$

• 一阶线性微分方程:$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

$$y=e^{-\int P(x)dx}[C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx]$$

• 伯努利方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$

$$\mathrm{两}\mathrm{边}\mathrm{同}\mathrm{除}{y}^n,\mathrm{得}{y}^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$$

$$\frac{1}{1-n}\frac{d{y}^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$$

$$\mathrm{设}u=y^{1-n}$$

$$\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)=>\mathrm{一}\mathrm{阶}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{方}\mathrm{程}$$

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可降阶的高阶微分方程

• $y^{(n)}=f(x)$，多次积分
• $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$

$$\mathrm{设}{y}^{\prime }=p(x),y^{\prime \prime }=p^{\prime }(x)$$

$$p^{\prime }=f(x,p)=>\mathrm{一}\mathrm{阶}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{方}\mathrm{程}$$

• $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

$$\mathrm{设}{y}^{\prime }=p(y)$$

$$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$$

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线性微分方程解的结构【线性代数相关】

• 满秩齐次方程只有零解
• 不满秩齐次方程有通解
• 满秩非齐次方程有一解
• 不满秩非齐次方程解为齐次通解加上特解

二阶线性微分方程的解法

• 已知二阶线性齐次方程的一个非零特解，求其通解
  • 已知$y=y_1(x)$是下列方程的解，求$y_2(x)$

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$

$$y_2=y_1\int \frac{{\mathrm{e}}^{-\int \rho (x)\mathrm{d}x}}{y_1^2}\mathrm{d}x.$$

• 已知线性齐次方程的通解，求二阶线性非齐次方程特解
  • 已知方程

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$$

• 齐次方程通解：

$$\bar{y}=C_1{y}_1+C_2{y}_2$$

• 记$v(y_1,y_2)=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2$
• 可得

$$\boxed{{\displaystyle C_1(x)=-\int \frac{y_{2}f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm{d}x,C_2(x)=\int \frac{y_{1}f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm{d}x,}}$$

• 可得特解

$$y^{\ast }=-y_1\int \frac{y_{2}f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm{d}x+y_2\int \frac{y_{1}f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm{d}x.$$

• 得到通解

$$y^{\ast }=C_1{y}_1+C_2{y}_2-y_1\int \frac{y_{2}f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm{d}x+y_2\int \frac{y_{1}f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm{d}x$$

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常系数线性齐次微分方程

• 设二阶常系数线性齐次微分方程

$$y^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{2}y=0$$

• 有特征方程：

$$r^2+a_{1}r+a_2=0$$

• 若特征方程的根是两个不相等的实根$r_1$和$r_2$

$$y=C_1{\mathrm{e}}^{r_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{r_{2}x}$$

• 若特征方程的根是两个相等的实根$r_1=r_2$

$$y=C_1{\mathrm{e}}^{r_{1}x}+C_{2}x{\mathrm{e}}^{r_{1}x}$$

• 若特征方程的根是一对共轭复根

$$r_1=\alpha +\mathrm{i}\beta ,r_2=\alpha -\mathrm{i}\beta$$

$$y=C_1{\mathrm{e}}^{ax}\cos \beta x+C_2{\mathrm{e}}^{ax}\sin \beta x$$

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常系数线性非齐次微分方程(对多阶同样适用)

• 设常系数线性非齐次方程为
  $$y^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{2}y=f(x)$$

• 自由项为$f\left(x\right)=P_m\left(x\right){\mathrm{e}}^{\lambda x}$时
  • 有特解
  $$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$$
  • $P_m(x)$为与$Q_m(x)$次数相同的多项式
  • 当$\lambda$不是齐次方程特征根时$k=0$，是单重特征根时$k=1$，双重特征根$k=2$
• 自由项为$f\left(x\right)=P_m\left(x\right){\mathrm{e}}^{\alpha x}\cos \beta x$或$f\left(x\right)=P_m\left(x\right){\mathrm{e}}^{\alpha x}\sin \beta x$时
  • 有特解
  $$y^{\ast }=x^k{\mathrm{e}}^{ax}[\begin{array}{c}{Q}_m(x)\text{cos}\beta x+R_m(x)\text{sin}\beta x\end{array}]$$
  • $Q_m(x)$和$R_m(x)$都是m次待定多项式
  • 当$\alpha +i\beta$是特征根时$k=0$,不是则$k=1$
• 欧拉方程（特殊变系数方程）

$$x"y^{(n)}+a_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}x{y}^{\prime }+a_{n}y=f(x)$$

• 做代换$t=lnx$

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\text{d}y}{\text{d}t},\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=-\frac{1}{x^2}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{1}{x^2}\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2},...$$

• 可得非齐次方程