工数下笔记

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• 方向角
• 向量的乘积
• 平面的方程
• 有关平面的一些问题
• 空间直线方程
• 有关直线和平面的一些问题
• 空间曲面和空间曲线
• 二元函数
• 偏导数
• 复合函数求导
• 方向导数和梯度
• 二重积分
• 三重积分
• 重积分的应用
• 重积分换元法及含参变量的积分
• 第一类曲线积分
• 第二类曲线积分
• 格林公式
• 第一类曲线积分

工科数学分析下

第六章 向量代数和空间解析几何

$$\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{条}\mathrm{件}：\frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2}{y_1}=\frac{z_2}{z_1}$$

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方向角

$$\mathrm{设}\mathrm{向}\mathrm{量}\overrightarrow{a}\mathrm{与}\mathrm{三}\mathrm{个}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{轴}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{的}\mathrm{夹}\mathrm{角}\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{为}\alpha ,\beta ,\gamma ,\mathrm{则}\alpha ,\beta ,\gamma \mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{向}\mathrm{量}\overrightarrow{a}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{角}，\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{角}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{确}\mathrm{定}\mathrm{了}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{的}\mathrm{向}\mathrm{量}$$

$$co{s}^2\alpha +co{s}^2\beta +co{s}^2\gamma =1$$

$$a^0=\{cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma \}$$

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向量的乘积

向量的数量积

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩$$

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$

$$cos⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$

向量的向量积

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\mathrm{同}\mathrm{时}\mathrm{垂}\mathrm{直}\mathrm{于}\overrightarrow{a}\mathrm{和}\overrightarrow{b}，\mathrm{且}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{\mathrm{成}}\mathrm{右}\mathrm{手}\mathrm{系}$$

$$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩,\mathrm{即}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{构}\mathrm{成}\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{四}\mathrm{边}\mathrm{形}\mathrm{的}\mathrm{面}\mathrm{积}$$

$$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}<=>|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=0$$

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|$$

向量的混合积

$$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=\mathrm{以}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\mathrm{为}\mathrm{底}\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{六}\mathrm{面}\mathrm{体}\mathrm{的}\mathrm{面}\mathrm{积},\mathrm{且}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\mathrm{三}\mathrm{者}\mathrm{互}\mathrm{换}\mathrm{位}\mathrm{置}\mathrm{不}\mathrm{影}\mathrm{响}$$

$$\mathrm{三}\mathrm{向}\mathrm{量}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\mathrm{共}\mathrm{面}<=>(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=0$$

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平面的方程

点法式

$$\mathrm{给}\mathrm{定}\mathrm{点}{M}_0(x_0,y_0,z_0)\mathrm{和}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{非}\mathrm{零}\mathrm{向}\mathrm{量}\overrightarrow{n}=\{A,B,C\},\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{过}\mathrm{点}{M}_0\mathrm{且}\mathrm{与}\overrightarrow{n}\mathrm{垂}\mathrm{直}$$

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

平面的一般方程

$$Ax+By+Cz+D=0,\overrightarrow{n}=\{A,B,C\}\mathrm{即}\mathrm{为}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{法}\mathrm{向}\mathrm{量}$$

截距式

$$\mathrm{设}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{与}x\mathrm{轴}，y\mathrm{轴}，z\mathrm{轴}\mathrm{的}\mathrm{交}\mathrm{点}\mathrm{为}{M}_1(a,0,0),M_2(0,b,0),M_3(0,0,c),\mathrm{则}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{为}$$

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

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有关平面的一些问题

两平面的夹角

$${\pi }_1=A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\mathrm{法}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{为}\overrightarrow{n_1}$$

$${\pi }_2=A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\mathrm{法}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{为}\overrightarrow{n_2}$$

$$cos\theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

点到平面的距离

$$M_0:(x_0,y_0,z_0)$$

$$\pi :Ax+By+Cz+D=0$$

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

平面束

$$\{\begin{array}{r}{\pi }_1=A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ {\pi }_2=A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

$$\mathrm{过}\mathrm{两}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{交}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{面}：\mu (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$$

$$\mathrm{可}\mathrm{和}{\pi }_1\mathrm{重}\mathrm{合}\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{和}{\pi }_2\mathrm{重}\mathrm{合}：(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$$

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空间直线方程

直线的一般方程

$$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$$

$$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0(A_1:B_1:C_1)\ne (A_2:B_2:C_2)$$

直线的标准方程和参数方程

$$\mathrm{设}{M}_0(x_0,y_0,z_0)\mathrm{是}\mathrm{空}\mathrm{间}\mathrm{中}\mathrm{一}\mathrm{点}，\overrightarrow{s}=\{l,m,n\}，\mathrm{则}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{一}\mathrm{条}\mathrm{直}\mathrm{线}L\mathrm{过}\mathrm{点}{M}_0\mathrm{且}\mathrm{与}\overrightarrow{s}\mathrm{平}\mathrm{行}$$

$$\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{或}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{式}\mathrm{方}\mathrm{程}：\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$

$$\mathrm{参}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{程}：\{\begin{array}{r}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt\end{array}$$

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有关直线和平面的一些问题

直线与直线的夹角

$$L1:\frac{x-a_1}{l_1}=\frac{y-b_1}{m_1}=\frac{z-c_1}{n_1}\mathrm{设}\overrightarrow{s_1}=l_1,m_1,n_1$$

$$L2:\frac{x-a_2}{l_2}=\frac{y-b_2}{m_2}=\frac{z-c_2}{n_2}\mathrm{设}\overrightarrow{s_2}=l_2,m_2,n_2$$

$$cos\theta =\frac{|\overrightarrow{s_1}\cdot \overrightarrow{s_2}|}{|\overrightarrow{s_1}||\overrightarrow{s_2}|}=\frac{|l_1{l}_2+m_1{m}_2+n_1{n}_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}$$

直线与平面夹角

$$L:\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}$$

$$\pi :Ax+By+Cz+D=0$$

$$sin\theta =\frac{|\overrightarrow{s}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{s}||\overrightarrow{n}|}=\frac{|lA+mB+nC|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

点到直线的距离

• 过点作垂面，求垂面与直线的交点，求两点距离
• 在L上任取一点，求两点构成的向量在直线上的投影，解三角形
• 在L上任取一点，求两点构成的向量和直线向量的向量积，解平行四边形
• 设直线上的点，求两点距离，取最小值

两线共面

• 两条线各取一点，构成向量，与原直线共三个向量，求三向量共面即可

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空间曲面和空间曲线

曲面方程

$$\begin{gathered} F(x,y,z)=0 \\ \mathrm{或} \\ \{\begin{array}{r}x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\\ z=z(u,v)\end{array} \end{gathered}$$

1.旋转曲面:转谁谁不变，将另一个参数变成到轴的距离

$$\begin{gathered} F(x,y)=0 \\ \mathrm{绕}y\mathrm{轴}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{得} \\ F(\pm \sqrt{x^2+y^2},y)=0 \end{gathered}$$

2.曲面在坐标面上投影���解,在方程中将带投影面的坐标消去即可
3.柱坐标系:坐标代换

$$\{\begin{array}{r}x=\rho cos\theta \\ y=\rho sin\theta \\ z=z\end{array}$$

4.球坐标系:坐标代换

$$\{\begin{array}{r}x=rcos\theta sin\phi \\ y=rsin\theta sin\phi \\ z=rcos\phi \end{array}$$

常见曲面

1.柱面：一直线沿给定曲线平行移动所形成的曲面S，曲线叫做准线，直线叫做母线

$$\begin{gathered} C:\{\begin{array}{r}F(x,y)=0\\ z=0\end{array} \\ \mathrm{或} \\ F(x,y)=0 \end{gathered}$$

2.椭圆锥面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$$

3.椭球面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

4.单叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

5.双叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$$

6.椭圆抛物面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$$

7.双曲抛物面

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-z$$

第七章 多元函数微分学

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二元函数

• 二元函数的定义是平面上的点集
• 二元函数的定义域通常是一条或几条曲线���成的一部分平面，这样的点集被称为区域，围成区域的曲线被称为区域的边界。如果区域包含边界，则称为闭区域，反之称为开区域。

多元函数的极限

• P(x,y)以不同的曲线方式（如$x=y\mathrm{或}x=y^2$）趋于$P_0(x_0,y_0)$时，函数趋于相同的值则极限$\underset{x\to +\mathrm{\infty }y\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x,y)$不存在

多元函数的连续性

• 多元初等函数在其定义域上是连续的
• 同一元函数

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偏导数

定义

• 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，将$y$固定在$y_0$,而$x$在$x_0$处取得增量$\mathrm{\Delta }x$时，函数$f(x,y)$所产生的响应的增量称为偏增量

$${\mathrm{\Delta }}_{x}z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)$$

• 如果极限

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{\Delta }}_{x}z}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

存在则称此极限为函数$z=f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作

$${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)},{\frac{\partial f}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)},{z_x^{\prime }|}_{(x_0,y_0)},f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_1^{\prime }(x_0,y_0)$$

• 偏导数是一个整体,不能像倒数一样拆分即

$$\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial y}\ne \frac{\partial z}{\partial y}$$

高阶偏导数

• 如果函数 $z=f(x,y)$ 的两个混合的偏函数$f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)$与$f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$在区域D内连续,则在此区域内必有

$$f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)=f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$$

全微分

• 函数存在<函数连续<函数偏导数存在<函数全微分存在<函数偏微分连续
• 如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量可表示为$$\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho ),\rho =\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}$$
• 则$A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$被称为函数在点$(x,y)$的全微分,记作$dz$或$df$
  $$dz=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

• 应用
  • 近似计算
  $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)$$
  • 误差估计(和近似计算差不多,加个绝对值就行,误差总不能是负的)

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复合函数求导

• 通过函数结构图求解
  • 设$u=f(x,y,z),x=\phi (s,t),z=g(s)$
  $$\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial s}$$
  $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$

• 求多阶导
  • 通过全微分形式的不变性,即设$z=f(u,v)$,不论$u,v$是中间变量还是自变量,它的全微分形式总可以写成
  $$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$$

隐函数求导法

• 由一个方程确定的隐函数(上下相反)
  • 如果函数$F(x,y)$ 在点$P(x_0,y_0)$上有连续的偏导数，且$F(x_0,y_0)=0,F_y^{‘}(x_0,y_0)\ne 0$,则方程$F(x,y)=0$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有唯一确定的一个隐函数$y=f(x)$
  $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$$
  • 如果函数是三元隐函数，$F(x,y,z)=0$
  $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}，\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$$

• 由方程组确定的隐函数
  • 若是三元函数，则可通过同时对x求偏导，得到两个导数的关系式，通过关系式求解
  • 设函数$F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0$，在点$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$有连续偏导数，且雅可比行列式存在
  $$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_u^{\prime }& F_v^{\prime }\\ \\ G_u^{\prime }& G_v^{\prime }\end{array}\right|$$
  • 雅可比行列式不等于0则存在
  $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (v,u)}}，\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,u)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}}$$

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方向导数和梯度

• 方向导数：沿向量$\overrightarrow{l}$方向的导数
  • 定义法：求极限
  $$\frac{\partial z}{\partial l}=\underset{\rho \to 0}{lim}\frac{{\mathrm{\Delta }}_{l}z}{\rho }$$
  • 若函数在带点附近可微且方向导数都存在,$e$：
  $$\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial z}{\partial y}cos\beta$$

• 梯度：最大的方向导数
  $$gradz=\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\end{array}\right\}$$

空间曲线的切线和法平面

• 若曲线方程为
  $$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$$
  $$\overrightarrow{s}=\left\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0)\end{array}\right\}$$

• 若曲线方程为
  $$\{\begin{array}{r}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$
  则函数在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的切向量为
  $$s=\{1,{\frac{\partial y}{\partial x}|}_{P_0},{\frac{\partial z}{\partial x}|}_{P_0}\}\mathrm{或}s=\{dx,dy,dz\}$$

• 将$A(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}$称为向量函数
  $$\begin{gathered} (A\cdot B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cdot B+A\cdot B^{\prime } \\ (A\times B{)}^{\prime }=A^{\prime }\times B+A\times B^{\prime } \end{gathered}$$

• $A(t)$的积分即是各个方向上的积分之和
• 曲线的切平面的法向量即是梯度方向

二元函数的泰勒公式

$$\begin{array}{rl}f(a+h,b+k)=& f(a,b)+h{f}_x^{\prime }(a,b)+k{f}_y^{\prime }(a,b)\\ & +\frac{1}{2}(h^2{f}_{xx}^{\prime }+2hk{f}_{xy}^{\prime }+k^2{f}_{yy}^{\prime })\end{array}$$

拉格朗日余项：

$$R_2=\frac{1}{3!}\sum _{i=0}^3{C}_3^r\frac{{\partial }^{3}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)}{\partial x^r\partial y^{3-r}}(0<\theta <1)$$

皮亚诺余项：

$$o({\rho }^2)$$

多元函数的极值（泰勒公式推导）

• 可疑点（可能的极值点）要么是边界值，要么导数为零，即$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$
• 记$f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=A,f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=B,f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=C$
  • 当$AC-B^2>0$,且$A<0$时，$f(x_0,y_0)$是极大值
  • 当$AC-B^2>0$,且$A>0$时，$f(x_0,y_0)$是极小值
  • 当$AC-B^2<0$,不是极值
  • 当$AC-B^2=0$,另行讨论
• 条件极值：
  • 设目标函数为$z=f(x,y)$，约束条件为$\phi (x,y)=0$
  • 若$(x_0,y_0)$是条件极值点，则一定是下列方程的解
  $$\{\begin{array}{r}{f}_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y)=0\\ f_y^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y)=0\\ \phi (x,y)=0\end{array}$$

第八章 重积分

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二重积分

• 就是对某个维度积分后，再在其他维度进行积分。
• 表现形式:

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$$

$${\int }_c^{d}dx{\int }_{x_1(y)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$$

• 极坐标中的二重积分表示

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D}{\iint }f(\rho cos\theta ,\rho sin\theta )\rho d\theta d\rho$$

$${\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\rho }_1(\theta )}^{{\rho }_2(\theta )}(\rho cos\theta ,\rho sin\theta )\rho d\rho$$

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三重积分

• 基本同二重积分
• 球坐标系中的三重积分：

$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{V}{\iiint }f(rcos\theta sin\phi ,rsin\theta sin\phi ,rcos\phi )r^{2}sin\phi drd\phi$$

$$={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{\gamma }^{\tau }sin\phi d\phi {\int }_{{\tau }_1(\phi )}^{{\tau }_2(\phi )}f(rcos\theta sin\phi ,\tau sin\theta sin\phi ,\tau cos\phi )r^{2}d\tau$$

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重积分的应用

• 曲面的面积:

$$A=\underset{D_{xy}}{\iint }\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}$$

• 质心:求哪一个方向就乘以哪个方向

$$\bar{x}=\frac{1}{M}\underset{V}{\iiint }x\mu (x,y,z)dV=\frac{\underset{V}{\iiint }x\mu (x,y,z)dV}{\underset{V}{\iiint }\mu (x,y,z)dV}$$

• 转动惯量

$$I_L=\underset{V}{\iiint }{d}^2(Q，L)\mu (x,y,z)dV$$

• 引力

$$F_x=\underset{V}{\iiint }\frac{Gm(x-a)\mu (x,y,z)}{r^3}dV$$

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重积分换元法及含参变量的积分

• 重积分换元法(这里的$J$要取绝对值)

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D^{\prime }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$$

• 含参变量的积分
• 连续性:

$$\underset{y\to y_0}{lim}{\int }_a^{b}f(x,y)dx={\int }_a^b\underset{y\to y_0}{lim}f(x,y)dx$$

• 可导性:

$$F^{\prime }(y)=\frac{d}{dy}{\int }_a^{b}f(x,y)dx={\int }_a^b{f}_y^{\prime }dx$$

• 积分次序交换性:如果$f(x,y)$在区域$D:a\le x\le b,c\le y\le d$上连续,可交换前后积分位置,用于转换累次积分解题

$${\int }_c^{d}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx={\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy$$

• 参数积分方程求导:对$F(y)={\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}f(x,y)dx$

$$F^{\prime }(y)={\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}{f}^{\prime }(x,y)dx+f({\phi }_2(y),y){\phi }_2^{\prime }(y)-f({\phi }_1(y),y){\phi }_1^{\prime }(y)$$

第九章 曲线积分与曲面积分

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第一类曲线积分

• 基本形式：一般弧积分${\int }_{L}f(x,y,z)dl$，闭曲线弧积分，${\oint }_{L}f(x,y,z)dl$
• 曲线积分的计算：(个人理解是上学期曲线积分的延伸)

$${\int }_{L}f(x,y,z)dl={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}dt$$

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第二类曲线积分

• 基本形式：相量在曲线上的积分计算（功?）

$${\int }_{L}Xdx+Ydy={\int }_{\alpha }^{\beta }[X(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Y(x(t),y(t))y^{\prime }(t)]dt$$

• 两类曲线积分的关系:(相量的累计就是在各个坐标上投影的累计合)

$${\int }_{L}Xdx+Ydy+Zdz={\int }_L(Xcos\alpha +Ycos\beta +Zcos\gamma )dl$$

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格林公式

• 平面区域：连通（一坨），非连通（两坨），单连通（实心），复连通（空心）
• 格林定理：设$D$是平面有界单连通区域，且函数在$D$有一阶连续偏导数，$L$是其边界曲线，有

$${\oint }_{L_1^{+}}Xdx+Ydy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}dxdy)$$

• 格林公式的图形意义：将曲线区域微分为矩形堆积而成，对矩形求积分，即可得曲线边缘的积分值
• 格林公式的物理意义：对于内部不存能量的区域，从边缘上放出的能量等于内部所有区域释放的能量之和
• 注：格林公式的使用条件只要是连通区域即可
• 格林公式计算面积：

$$A=\underset{D}{\iint }dxdy=\frac{1}{2}{\oint }_{L^{+}}xdy-ydx$$

• 特殊情况：路径无关
  • 函数沿任意曲线到达同一个点的值恒定

$${\oint }_{L_1^{+}}Xdx+Ydy=0<=>\frac{\partial Y}{\partial x}\equiv \frac{\partial X}{\partial y}$$

• 全微分：
  • 意义：已知平面函数的全微分是$Xdx+Ydy$，试图使$Xdx+Ydy$回退为$u(x,y)$
  • 充要条件:$\frac{\partial Y}{\partial x}\equiv \frac{\partial X}{\partial y}$
  • 表达式：
  $$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Xdx+Ydy+C$$
  $${\int }_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}Xdx+Ydy=u(x_2,y_2)-u(x_1,y_1)$$
  • 求解方式：折线求解
    

$$u(x,y)={\int }_0^{x}X(x,0)dx+Y(x,y)dy+C$$

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第一类曲线积分

• 求解方式：把曲面投影到平面，对微小平面对应的曲面进行积分

$$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D_{xy}}{\iint }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}dxdy$$

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