P5311 Ynoi2011 成都七中
P5311 Ynoi2011 成都七中
点分树好题，太妙了。
思路
看到树和连通块，考虑点分树。
但是从这里发现原树和点分树的联系实在太小，貌似不可做。
可以发现对于一个询问，一个点如果和 \(x\) 在一个连通块内，那么这个点到 \(x\) 的最大最小节点编号肯定都在 \([l,r]\) 这个范围内。
可以证明，对于一个连通块，肯定存在一个在 \(x\) 的连通块内的节点 \(u\)，节点 \(u\) 在点分树上最浅，且节点 \(u\) 在点分树上的子树包含了整个连通块。
证明如下：
证明一：在原树中删除点分树上的一个点，会把原树分为若干个连通块，在构建点分树的过程中 \(x\) 的连通块内，最先被选中作为点分树上的一个节点为 \(u\) ，根据构建规则，剩下的点会成为 \(u\) 的子树内的节点，满足了 \(u\) 最浅和全覆盖。
证明二：如果点分树上一个节点 \(v\) 不是在连通块内，那么 \(x\) 连通块内的所有节点肯定都在该节点的同一个儿子的子树中。因为如果在不同儿子的子树中，这样节点 \(v\) 肯定也会在 \(x\) 的连通块中，与题设不符。顺着这个儿子走，直到走到一个在连通块内的点即可。
想要找到点 \(u\) 只需要依次遍历点分树上 \(x\) 最浅的祖先，选择满足原树上到 \(x\) 的最大最小节点编号在 \([l,r]\) 内的最浅的祖先。我们将这个选择的点定义为关键点。
每一个询问都对应了一个关键点，我们只需要查找点分树上关键点所在子树内，原树上到关键点最大最小节点编号在 \([l,r]\) 内的节点即可。（原树上关键点到 \(x\) 最大最小节点编号在 \([l,r]\) 内，可以从子树内的这个点到关键点，再到 \(x\) ，原树上最大最小编号也肯定在 \([l,r]\) 内）
如果每个询问做一次，效率甚至不如暴力，但我们可以把多个询问合在同一个点上做。
对于一个点分树上的点 \(u\)，我们把其子树内的点到 \(u\) 的原树上最大最小编号计为 \((mn,mx)\)，关键点为 \(u\) 询问存为 \((l,r)\)。
把询问和点混在一起按照第一维降序排序，然后每一种颜色记录最小的 \(mx\)，遇到一个查询直接查询有多少颜色的 \(mx\) 小于 \(r\) 即可，这里可以用树状数组维护。
这里先加入树状数组的点满足了 \(l\leq mn\)，查询时又满足了 \(mx\leq r\)。
时间复杂度：
树分治的子树内节点排序：\(O(n\log^2 n)\)。
树分治加树状数组：\(O(n\log^2 n)\)。
总时间复杂度：\(n\log^2 n\)。
CODE
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
struct Edge
{
int tot;
int head[maxn];
struct edgenode{int to,nxt;}edge[maxn*2];
inline void add(int x,int y)
{
tot++;
edge[tot].to=y;
edge[tot].nxt=head[x];
head[x]=tot;
}
}T;
struct node{int x,y,c,tp;};
struct treearray
{
int tree[maxn];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void updata(int x,int y){for(;x<=maxn-5;x+=lowbit(x)) tree[x]+=y;}
inline int getsum(int x){int sum=0;for(;x;x-=lowbit(x)) sum+=tree[x];return sum;}
inline void clr(int x){for(;x<=maxn-5;x+=lowbit(x)) tree[x]=0;}
}S;
struct fanode{int x,y,f;};//加入祖先时，记录到祖先的最大最小节点编号
inline bool cmp(node a,node b){return a.x>b.x||(a.x==b.x&&a.tp<b.tp);}
int n,m,rt;
int c[maxn],siz[maxn],mv[maxn],ans[maxn];
int mx[maxn],mn[maxn];
vector<int>s[maxn];
vector<fanode>fa[maxn];
vector<node>t[maxn];
bool book[maxn],cut[maxn];
inline int dfs_siz(int u)
{
book[u]=true;siz[u]=1;
for(int i=T.head[u];i;i=T.edge[i].nxt)
{
int v=T.edge[i].to;
if(!book[v]&&!cut[v]) siz[u]+=dfs_siz(v);
}
book[u]=false;return siz[u];
}
inline int dfs_rt(int u,const int tot)
{
book[u]=true;int ret=u;
for(int i=T.head[u];i;i=T.edge[i].nxt)
{
int v=T.edge[i].to;
if(!book[v]&&!cut[v]&&siz[v]*2>=tot){ret=dfs_rt(v,tot);break;}
}
book[u]=false;return ret;
}
inline void dfs2(int u,int g,int mn,int mx)
{
mx=max(mx,u),mn=min(mn,u);
t[g].push_back({mn,mx,c[u],0});//加入节点
book[u]=true;fa[u].push_back({mn,mx,g});
for(int i=T.head[u];i;i=T.edge[i].nxt)
{
int v=T.edge[i].to;
if(!book[v]&&!cut[v]) dfs2(v,g,mn,mx);
}
book[u]=false;siz[u]=1;
}
inline void solve(int u,int f)//建树
{
dfs_siz(u);int g=dfs_rt(u,siz[u]);cut[g]=true;
s[f].push_back(g),fa[g].push_back({g,g,g});
t[g].push_back({g,g,c[g],0});
for(int i=T.head[g];i;i=T.edge[i].nxt)
{
int v=T.edge[i].to;
if(!cut[v]){dfs2(v,g,g,g);solve(v,g);}
}
rt=g;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
T.add(x,y),T.add(y,x);
}
solve(1,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int l,r,x;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
for(auto j:fa[x])
if(l<=j.x&&j.y<=r){t[j.f].push_back({l,r,i,1});break;}
}
memset(mv,0x7f,sizeof(mv));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sort(t[i].begin(),t[i].end(),cmp);
for(auto j:t[i])
if(j.tp) ans[j.c]=S.getsum(j.y);
else if(j.y<mv[j.c]){if(mv[j.c]<1e9)S.updata(mv[j.c],-1);S.updata(mv[j.c]=j.y,1);}
for(auto j:t[i]) if(!j.tp) S.clr(mv[j.c]),mv[j.c]=1e9;
}
for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}
