扩展KMP

前言

扩展KMP又称Z函数，可以快速的求出一个字符串的每一个后缀的与其的LCP（最大公共前缀）长度。

至于为什么要学习exKMP，因为（数据规模很上进）我们都是上进的OIer。

算法思路

暴力朴素的算法

将$n$个字符的字符串S中第$i$位开始的后缀与S的开头一一比较，求出LCP数组Z。

CODE

for(int i=1;i<n;i++)
{
    while(z[i]+i<n&&s[z[i]]==s[z[i]+i]) z[i]++;
}

由于上述算法太朴实无华了，所以我们的时间复杂度也很朴实无华达到$O(n^2)$。

exKMP

为了解决上述过分朴实无华的时间复杂度，exKMP学会了剥削利用一切可以利用的数据。

在exKMP中，我们从$1$到$n-1$依次计算z数组，那么我们在计算$z[i]$时$z[1,i-1]$是已经计算好了的。我们在计算过程中维护一个$r$，使$r=max(z[j]+j-1)(j<i)$，同时使$l$等于这个区间的左端点，即$j$。（$r,l,j$如图）

由z数值的定义可知，$S[l,r]$段是从第$l$位开始的字符串$S$的后缀与字符串$S$的LCP。那么$S[0,z[l]-1]=S[l,r]$。因为$r=z[l]+l-1$，所以$S[0,r-l]=S[l,r]$，且$S[z[l]]!=S[r+1]$（如果等于，那么z[l]就不是最大的）。（如图）

举个例子：
S={aaabb}(i=0,4)，当$l=1$时，$z[l]=2,r=2$。可以看出$S[0,r-l]=S[l,r]$。

理解上面后，我们来计算$z[i]$

1.若$l<i\le r$，则$S[i,r]=S[i-l,r-l]$（上一个图所述情况可以看成$i=l$的情况，$i$每往后挪动一位，$i-l$也往后挪动一位）。

1.1若$z[i-l]<r-l+1$，也就是如图蓝线所示部分：

因为$S[i-l,r-l]=S[i,r]$，所以$S[i-l,i-l+z[i-l]-1]=S[i,i+z[i-l]-1]$。即上图中蓝红线所示部分相同。

而且$S[i-l+z[i-l]]\ne S[i+z[i-l]]$（上文有类似证明），所以$z[i]=z[i-l+1]$。

1.2若$z[i-l]\ge r-i+1$时，使$z[i]=r-i+1$，然后使用朴素的对比方法。（优质的食材往往使用最朴素的烹饪方法）（$r$以外的字符不清楚，那么就暴力查询）

2.若$i>r$，朴素求$z[i]$。

注意每次求出z[i]后都要看当前的z[i]是否可以更新l和r。

代码：

for(int i=1,l=0,r=0;i<m;i++)
{
    if(i<=r&&z[i-l]<r-i+1) z[i]=z[i-l];//1.1的情况
    else
    {
        z[i]=max(0,r-i+1);//1.2或2的情况对z[i]的更新
        while(i+z[i]<n&&b[z[i]]==b[i+z[i]]) z[i]++;//暴力求法
    }
    if(i+z[i]-1>r) l=i,r=i+z[i]-1;//更新l,r
}

exKMP的时间复杂度

虽然我们看似进行了很多次的朴素方法，但是我们使用暴力求法时都是$i+z[i-l]\ge r$或$i>r$的时候，而且我们的$r$是不断向后变化的（不变化就一定是$O(1)$的解法），也就是说实际上我们只对$S[]$（也就是代码中的$b[]$）只遍历了一次（对于整个exKMP来说，下同），而外围循环求$z$也只会遍历一次$z$。所以总时间复杂度$O(n)$。

后记

如果是两个字符串要求z函数，我们把他们拼成一条字符串，并且在连接处增加一个不属于这两个字符串的字符，就可以回归上述做法。