CF1515F Phoenix and Earthquake

CF1515F Phoenix and Earthquake

证明题。

思路

考虑不合法的情况，如果 $\sum a_i<(n-1)\times x$，肯定是不合法的。

再考虑对于一个可行的情况，最后缩的边肯定形成一棵树，所以我们大胆假设：任意一棵生成树只要满足 $\sum a_i\ge (n-1)\times x$ 有合法的缩边方案。

考虑归纳证明：

在 $n$ 个点的树中考虑叶子节点 $u$，其父亲为 $v$。

1. 若 $a_u<x$，那么我们删除 $(u,v)$ 这条边，由于所需总和 $(n-1)\times x$ 减少了 $x$，而 $\sum a_i$ 减少了 $a_u$，所以归纳假设任然成立。将边 $(u,v)$ 加入栈。

2. 若 $a_u\ge x$，那么我们把 $a_u$ 和 $a_v$ 进行缩点，原树转化为 $n-1$ 个节点新树。将边 $(u,v)$ 加入队列。

先使用队列输出边，再输出栈中的边

再给出这样的输出边的方案的正确性证明：

首先使用条件 $2$ 中的边进行缩点，假设缩剩下了 $t$ 个点，第 $i$ 个点的点权为 $a_i$。

此时有 $\sum a_i\ge (t-1)\times x$。

其中仅可能包括根节点的 $a_i$ 大于 $x$；否则，可以进一步进行 $2$ 操作的缩点，将满足 $a_i\ge x$​ 的点缩到根节点处。

当 $i>1$ 时 $a_i<x$，即 $i>1$ 时 $x-a_i\ge 1$。

不妨设根节点的缩点点权为 $a_1$，有 $a_1\ge \sum _{i=2}^t(x-a_i)$。

此时根节点可以与任意一个相连的缩点合并，不妨设该点为 $t$（$a_1$ 肯定大于等于 $x-a_t$），相当于不等式两边同时加了 $a_t-x$，不等式仍然成立。

每次缩根节点和其相连的点就可以喽。

而我们根据栈输出的边正满足这样的条件，证明留给读者自行思考（doge）。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define F first
#define S second

const int maxn=3e5+5;

int n,m,x;
ll a[maxn];

vector<pii>E[maxn];

bool vis[maxn];

queue<int>que;
stack<int>stk;

inline void dfs(int u)
{
    vis[u]=true;
    for(auto v:E[u])
    {
        if(vis[v.F]) continue;
        dfs(v.F);
        if(a[v.F]>=x) que.push(v.S),a[u]+=a[v.F]-x;
        else stk.push(v.S);
    }
}

int main()
{
    ll sum=0;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),sum+=a[i];
    if(sum<1ll*(n-1)*x){printf("NO");return 0;}
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        E[u].push_back({v,i}),E[v].push_back({u,i});
    }
    dfs(1);
    puts("YES");
    while(!que.empty()) printf("%d\n",que.front()),que.pop();
    while(!stk.empty()) printf("%d\n",stk.top()),stk.pop();
}