ARC127E Priority Queue

ARC127E Priority Queue

分析性质+dp。

思路

由于每次加入的数肯定是一个 $a$ 的排列，但这个角度不好考虑。

设 $\{a\}$ 为最终状态的集合，其中 $a_i<a_{i+1}$，显然集合内元素个数为 $A-B$。

然后可以发现，按照元素值升序的加入顺序形成最终状态一定是最保险的一种方案。

设 $a_{i+1},a_i$ 加入的顺序可以形成该最终状态，试交换顺序为 $a_i,a_{i+1}$。

• 因为 $a_i<a_{i+1}$ 所以 $a_i$ 可以留下。

• 因为 $a_{i+1},a_i$ 的顺序可以形成最终状态，所以 $a_i,a_{i+1}$ 也可以形成最终状态。

所以如果乱序加入的状态可以留下 $a_i,a_{i+1}$，那么升序加入一定可以留下。

那么我们可以发现，最后留下的顺序是升序的，就可以考虑 $dp$。

设 $dp[i][j]$ 为目前已经放了 $i-1$ 个数，第 $i$ 个数放 $j$ 的状态数。

有转移：

$$dp[i][j]=\sum _{k=1}^{j-1}dp[i-1][k]$$

可以用前缀和优化转移，时间复杂度 $O(n^2)$。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define mod 998244353

const int maxn=5005;

int n,a,b,t,m;
int r[maxn];

ll dp[maxn][maxn],s[maxn][maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&b);
    for(int i=1;i<=a+b;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        if(x==1) r[++t]=++m;
        else t--;
    }
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<=a;i++) s[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=a-b;i++)
    {
        for(int j=1;j<=r[i];j++)
            dp[i][j]=s[i-1][j-1],s[i][j]=(dp[i][j]+s[i][j-1])%mod;
        for(int j=r[i]+1;j<=a;j++) s[i][j]=s[i][r[i]];
    }
    printf("%lld",s[a-b][r[a-b]]);
}