后缀数组 SA 学习笔记

后缀数组处理字符串后缀排名，公共子串类问题十分优秀，可以在部分情况下替代后缀自动机（SAM），本文主要讲解后缀数组的实现过程和部分例题。

算法

定义

后缀：从 $i$ 开始到字符串结束的一个特殊子串，本文用 $s u f (i)$ 表示从 $i$ 开始的后缀。

后缀数组 SA：SA 是一维数组， $S A_{i}$ 表示所有后缀按字典序排序之后，第 $i$ 名的后缀的开始位置，即 $s u f (S A_{i})$ 在所有后缀中字典序排序是第 $i$ 名。

名次数组 rk：rk 是一维数组， $r k_{i}$ 表示后缀 $s u f (i)$ 和所有后缀按字典序排序后的排名。

倍增算法

前置知识：基数排序。

使用倍增方法，对字符开始的 $2^{k}$ 长度的子字符串进行排序，求出其 rk 值。（这里 rk 允许相同）

当 $2^{k}$ 大于 $n$ 以后我们的后缀数组 SA 已经求出。

在求 $2^{k}$ 长度的排序时， $2^{k - 1}$ 的排序已经求出，一个长度为 $2^{k}$ 的段可以由两个长度为 $2^{k - 1}$ 的段合并得到。

那么把从 $i$ 开始的前 $2^{k - 1}$ 位之前的排序结果的 rk，看做第一关键字，把后 $2^{k - 1}$ 的排序结果看做第二关键字，对关键字排序从而求出整个排序结果。

附一张 2009 年集训队论文的图：

这里的 $x$ 为第一关键字， $y$ 为第二关键字。

在排序时使用基数排序，排序未完成时 $r k [i]$ 表示 $s [i, min (i + 2^{k - 1} - 1, n)]$ 的排位。可以利用上次的排序结果，直接排序好第二关键字。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=2e6+5;

int n,m=128;
int sa[maxn],rk[maxn],b[maxn],tmp[maxn];

char s[maxn];

int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) ++b[rk[i]=s[i]];
    for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
    for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[i]]--]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];
    int t=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]) rk[sa[i]]=t;
        else rk[sa[i]]=++t;
    }
    m=t;

    for(int l=1;l<n;l=l<<1)
    {
        //此时排序的长度为 2*l
        int t=0;
        for(int i=n-l+1;i<=n;i++) tmp[++t]=i;//长度不足 l 第二关键字最小
        for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>l) tmp[++t]=sa[i]-l;
        //sa[i] 向后 l 位排第 i 个，按顺序加入 tmp
        //由于是 s[sa[i],sa[i]+l] 第二关键字，所以第一关键字为 s[sa[i]-l,sa[i]-1
        //此时 tmp 已经按照第二关键字排序
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) b[rk[tmp[i]]]++;//第一关键字排序
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
        for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[tmp[i]]]--]=tmp[i];//基数排序

        for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];//读取上次排名，辅助判断关键字相同，辅助修改本次rk
        t=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]&&tmp[sa[i]+l]==tmp[sa[i-1]+l]) rk[sa[i]]=t;//过程中允许排名相同，判断条件为第一，第二关键字都相同
            else rk[sa[i]]=++t;
        }
        m=t;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",sa[i]);
}

当基数排序排出 $n$ 个数字时，排序已经结束，可以直接退出。

随机数据情况下，可以大幅度节省时间。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=2e6+5;

int n,m=128;
int sa[maxn],rk[maxn],b[maxn],tmp[maxn];

char s[maxn];

int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) ++b[rk[i]=s[i]];
    for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
    for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[i]]--]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];
    int t=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]) rk[sa[i]]=t;
        else rk[sa[i]]=++t;
    }
    m=t;

    for(int l=1;l<n;l=l<<1)
    {
        int t=0;
        for(int i=n-l+1;i<=n;i++) tmp[++t]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>l) tmp[++t]=sa[i]-l;
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) b[rk[tmp[i]]]++;
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
        for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[tmp[i]]]--]=tmp[i];//基数排序

        for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];//读取上次排名，修改本次rk
        t=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]&&tmp[sa[i]+l]==tmp[sa[i-1]+l]) rk[sa[i]]=t;
            else rk[sa[i]]=++t;//过程中允许排名相同
        }
        m=t;
        if(m==n) break;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",sa[i]);
}

SA-IS

先留个坑

关于后缀数组的应用——height 数组

定义

height 数组： $h e i g h t_{i} = L C P (s u f (S A_{i}), s u f (S A_{i - 1}))$ 。

求 height 数组

如果直接去求 height 数组是 $O (n^{2})$ 的，并没有利用 SA 的优秀性质。

但这里有一个妙不可言的证明，可以把两者联系起来。

排序后，越接近的两个后缀，他们的 $L C P$ 肯定越大。数学语言就是若 $| r k_{i} - r k_{j} | < | r k_{i} - r k_{k} |$ ，则有 $L C P (s u f (i), s u f (j)) \geq L C P (s u f (i), s u f (k))$ 。

其实有一个比这个结论更强的结论，设 $h_{i} = h e i g h t_{r k_{i}}$ ，我们有：

h_{i} \geq h_{i - 1} - 1

人话就是， $s u f (i)$ 的最长 $l c p$ 长度至少为 $s u f (i - 1)$ 的最长 $l c p$ 长度减一。

感性证明是容易的，下面是写成书面语言的证明：

画一张图。

其中 $s_{i - 1}$ 到 $s_{j}$ 是 $s u f (i - 1)$ 的最长 $l c p$ ，长度为 $j - (i - 1) + 1$ ，满足 $h_{i - 1} = h e i g h t_{r k_{i - 1}} = j - (i - 1) + 1$ 。

对于 $s u f (i)$ 而言，由于 $s_{i}$ 到 $s_{j}$ 是 $s u f (i - 1)$ 的最长 $l c p$ 的一部分，那么 $s_{i}$ 到 $s_{j}$ 可以借用 $s u f (i - 1)$ 的最长 $l c p$ 找到一段相同字串，成为 $s u f (i - 1)$ 的 $l c p$ ，所以 $h_{i} = h e i g h t_{r k_{i}}$ 至少为 $j - i + 1$ ，即 $h_{i - 1} - 1$ 。

得证。

上述关于 $h_{i}$ 的结论加上 $S A_{i - 1}$ 是 $S A_{i}$ 最长 $l c p$ 可以在 $O (n)$ 的时间内求出 $h e i g h t$ 数组。

int k=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    if(rk[i]==1) continue;
    if(k) k--;//k 即为 h[i-1]
    int j=sa[rk[i]-1];
    while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[j+k]==s[i+k]) ++k;
    height[rk[i]]=k;
}

height 数组的实际运用

height 数组的实际运用有很多，这里先提出一个运用，后面例题再分析：

求 $L C P (s u f (i), s u f (j)) (i \neq j)$ 。

不妨设 $r k_{i} < r k_{j}$ 。

理解一下，有

L C P (s u f (i), s u f (j)) = {min}_{k = r k_{i} + 1}^{r k_{j}} h e i g h t_{k}

上图，来自集训队论文 2009 年：

不难证明上述结论，留作习题供读者自己思考。

例题

例1 P4051 JSOI2007 字符加密

长度为 $n$ 的字符串，位移若干位（可以是 $0$ 位）形成的 $n$ 个字符串，按字典序排序后的输出每一项的最后一位。

把原字符串复制一次（去除最后一位），后缀排序，然后按顺序输出每个后缀的第 $n$ 位即可。

可以这么做的原因是，对排序影响最大的肯定是前 $n$ 位，后面的存在对于排序造成的影响可以看做没有。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=2e5+5;

int n,m;
int sa[maxn],rk[maxn],tmp[maxn],b[maxn];

char s[maxn];

int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<n;i++) s[i+n]=s[i];
    n=n+n-1;

    m=2000;
    for(int i=1;i<=n;i++) b[rk[i]=s[i]]++;
    for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
    for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[i]]--]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];
    int t=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]) rk[sa[i]]=t;
        else rk[sa[i]]=++t;
    }
    m=t;

    for(int l=1;l<n;l<<=1)
    {
        int t=0;
        for(int i=n-l+1;i<=n;i++) tmp[++t]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>l) tmp[++t]=sa[i]-l;
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) b[rk[tmp[i]]]++;
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
        for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[tmp[i]]]--]=tmp[i];
        for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];
        t=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]&&tmp[sa[i]+l]==tmp[sa[i-1]+l]) rk[sa[i]]=t;
            else rk[sa[i]]=++t;
        }
        m=t;
        if(m==n) break;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(sa[i]>(n+1)/2) continue;
        putchar(s[sa[i]+(n+1)/2-1]);
    }
}

例2 P5546 POI2000 公共串

把所有的字符串接在一起，中间用不同的特殊字符分开。

求出 height 数组，然后使用双指针。先使得 $[l, r]$ 区间内满足出现了 $n$ 个字符串内所有的后缀，接着推动 $l$ 指针，使得区间内刚刚好出现了 $n$ 个字符串的所有后缀，此时 height 数组在区间 $[l, r]$ 上的最小值为一个可行长度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=2e6+5;

int n,m=128,_;
int sa[maxn],rk[maxn],b[maxn],tmp[maxn],height[maxn],L[10],R[10];

char s[maxn];

int ok;
int vis[10],col[maxn];
void add(int x)
{
    if(col[x]==0) return ;
    vis[col[x]]++;
    if(vis[col[x]]==1) ok++;
}
void del(int x)
{
    if(col[x]==0) return ;
    vis[col[x]]--;
    if(vis[col[x]]==0) ok--;
}

int main()
{
    scanf("%d",&_);
    for(int i=1;i<=_;i++)
    {
        L[i]=n+1;
        scanf("%s",s+n+1);
        n+=strlen(s+n+1);
        R[i]=n;
        s[++n]=i+'0';
    }

    for(int i=1;i<=n;i++) b[rk[i]=s[i]]++;
    for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
    for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[i]]--]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];
    int t=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]) rk[sa[i]]=t;
        else rk[sa[i]]=++t;
    }
    m=t;

    for(int l=1;l<n;l=l<<1)
    {
        int t=0;
        for(int i=n-l+1;i<=n;i++) tmp[++t]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>l) tmp[++t]=sa[i]-l;
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) b[rk[tmp[i]]]++;
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
        for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[tmp[i]]]--]=tmp[i];

        for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];
        t=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]&&tmp[sa[i]+l]==tmp[sa[i-1]+l]) rk[sa[i]]=t;
            else rk[sa[i]]=++t;
        }
        m=t;
        if(m==n) break;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;

    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(rk[i]==1) continue;
        if(k) k--;
        int j=sa[rk[i]-1];
        while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[j+k]==s[i+k]) ++k;
        height[rk[i]]=k;
    }
    for(int i=1;i<=_;i++)
        for(int j=L[i];j<=R[i];j++) col[rk[j]]=i;

    deque<int>q;
    int l=1,ans=0;
    add(1);
    for(int r=2;r<=n;r++)
    {
        while(!q.empty()&&height[q.back()]>=height[r]) q.pop_back();
        q.push_back(r);
        add(r);
        if(ok==_)
        {
            while(ok==_&&l<r) del(l),l++;
            add(l-1),l--;
        }
        while(!q.empty()&&q.front()<=l) q.pop_front();
        if(ok==_) ans=max(ans,height[q.front()]);
    }
    printf("%d",ans);
}

例3 P2743 USACO5.1 乐曲主题Musical Themes

“转调”可以用差分数组替代，这样就是求这个差分数组的 height，然后二分答案，对 height 进行分组，相邻的大于 mid 的分为一组。

如果有一组最靠前的后缀的起点和最靠后的后缀的起点，之间的距离大于等于 mid。那么这个 mid 是可行的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1e5+6;

int n,m;
int sa[maxn],tmp[maxn],rk[maxn],b[maxn],s[maxn],height[maxn];

bool check(int mid)
{
    int mx=sa[1],mi=sa[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(height[i]<mid) mx=mi=sa[i];
        else
        {
            mi=min(mi,sa[i]),mx=max(mx,sa[i]);
            if(mx-mi>mid) return 1;
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i]);
    for(int i=1;i<n;i++) s[i]=s[i+1]-s[i]+90;
    n--;

    m=250;
    for(int i=1;i<=n;i++) b[rk[i]=s[i]]++;
    for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
    for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[i]]--]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];
    int t=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]) rk[sa[i]]=t;
        else rk[sa[i]]=++t;
    }
    m=t;

    for(int l=1;l<n;l=l<<1)
    {
        int t=0;
        for(int i=n-l+1;i<=n;i++) tmp[++t]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>l) tmp[++t]=sa[i]-l;
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) b[rk[tmp[i]]]++;
        for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=b[i-1];
        for(int i=n;i;i--) sa[b[rk[tmp[i]]]--]=tmp[i];

        for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=rk[i];
        t=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(tmp[sa[i-1]]==tmp[sa[i]]&&tmp[sa[i-1]+l]==tmp[sa[i]+l]) rk[sa[i]]=t;
            else rk[sa[i]]=++t;
        }
        m=t;
        if(m==n) break;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(rk[i]==1) continue;
        if(k) k--;
        int j=sa[rk[i]-1];
        while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[i+k]==s[j+k]) k++;
        height[rk[i]]=k;
    }

    int l=0,r=n,ans=0;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)) ans=mid,l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    if(ans<4) printf("0");
    else printf("%d",ans+1);
}

习题

P2178 NOI2015 品酒大会

P1117 NOI2016 优秀的拆分

这两题都运用了后缀数组求 $L C P$ 或者 $L C S$ 的思想，值得一做。

参考资料

2009 年国家集训队论文《后缀数组——处理字符串的有力工具》——罗穗骞

posted @ 2024-01-14 23:07 彬彬冰激凌阅读(22) 评论(0) 编辑收藏举报

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求 height 数组

height 数组的实际运用

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