ARC151C 01 Game

ARC151C 01 Game

题目链接：ARC151C 01 Game

$SG$ 函数好题。

思路

考虑把原问题分成多个区间的不同问题，求 $SG$ 在异或起来。

设：
1.$S{G}_1(len)$ 长度为 $len$，边界没有数字。

2.$S{G}_2(len)$ 长度为 $len$，只有一个边界有数字。

3.$S{G}_3(len)$ 长度为 $len$，两个边界都有相同数字。

4.$S{G}_4(len)$ 长度为 $len$，两个边界都有不同数字。

初始有 $S{G}_1(0)=S{G}_2(0)=S{G}_4(0)=0,S{G}_3(0)=1$。

因为 $S{G}_3(0)$ 不存在，所以看做先手胜。

考虑枚举选择的点 $i$，有：

$$S{G}_1(len)={\mathrm{mex}}_{i=1}^{len}(S{G}_2(i-1)\oplus S{G}_2(len-i))$$

$$S{G}_2(len)={\mathrm{mex}}_{i=1}^{len}\mathrm{mex}(S{G}_2(i-1)\oplus S{G}_3(len-i),S{G}_2(i-1)\oplus S{G}_4(len-i))$$

$$S{G}_3(len)={\mathrm{mex}}_{i=1}^{len}\mathrm{mex}(S{G}_3(i-1)\oplus S{G}_3(len-i),S{G}_4(i-1)\oplus S{G}_4(len-i))$$

$$S{G}_4(len)={\mathrm{mex}}_{i=1}^{len}\mathrm{mex}(S{G}_3(i-1)\oplus S{G}_4(len-i),S{G}_4(i-1)\oplus S{G}_3(len-i))$$

然后我们通过打表发现：

$$S{G}_1(len)=len\mathrm{mod}2$$

$$S{G}_2(len)=len$$

$$S{G}_3(len)=1$$

$$S{G}_4(len)=0$$

这个可以也可以通过上述方程归纳证明。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

const int maxn=2e5+5;

ll n;
ll x[maxn];

int m;
int y[maxn];

int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld%d",&x[i],&y[i]);
    x[0]=0,x[m+1]=n+1;
    ll sg=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        ll len=x[i+1]-x[i]-1;
        if(i==0&&i==m) sg^=(len&1);
        else if(i==0||i==m) sg^=len;
        else if(y[i]==y[i+1]) sg^=1;
    }
    if(sg) printf("Takahashi");
    else printf("Aoki");
}