ARC134C The Majority

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小清新数学题。（反正我做不出来）

简要题意

有$K$个箱子，编号为$1$到$K$的箱子。起初，所有箱子都是空的。

史努克有一些球，球上写着$1$到$N$的整数。在这些球中，有$a_i$个球上写着数字$i$。带有相同数字的球无法区分。

史努克决定把他所有的球都放进箱子里。他希望每个箱子里写着数字$1$的球都是多数。换句话说，每个箱子里，写着数字$1$的球的数量应该多于其他球的数量,即占到一半以上。

找出这样放置球的方法数，结果对$998244353$取模。

当存在一对整数$(i,j)$满足$1\le i\le K,1\le j\le N$，并且在第$i$个箱子中，写着数字$j$的球的数量不同时，两种方式被认为是不同的。

思路

把每个 1 号球先和每个不是 1 号球配对一下，再在每个盒子里都放 1 个 1 号球。

这样子剩下了 $a_1-\sum _{i=2}^n{a}_i-k$ 个 1 号球。

同时保证了 1 号球是多数的条件。

现在使 $a_1-\sum _{i=2}^n{a}_i-k\to a_1$。

接下来球都可以任意放，对于单个种类的球看做有 $a_i$ 个球，放到 $k$ 个盒子里，允许空放的问题。

这个经典问题的答案是 $C_{a_i+k-1}^{k-1}$。

最终答案是

$$\prod _{i=1}^n{C}_{a_i+k-1}^{k-1}$$

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define mod 998244353

const int maxn=1e5+5;

ll n,k,sum,ans;
ll a[maxn],fac[maxn],inv[maxn];

ll ksm(ll x,ll y)
{
    ll sum=1;
    for(;y;y/=2,x=x*x%mod) if(y&1) sum=sum*x%mod;
    return sum;
}
ll C(ll n,ll m)
{
    if(n<=m) return 1;
    ll sum=inv[m];
    for(ll i=n-m+1;i<=n;i++) sum=sum*i%mod;
    return sum;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);

    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[k]=ksm(fac[k],mod-2);
    for(int i=k-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=2;i<=n;i++) sum+=a[i];

    a[1]=a[1]-sum-k;
    if(a[1]<0)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }

    ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=ans*C(a[i]+k-1,k-1)%mod;
    printf("%lld",ans);
}