卢卡斯定理/Lucas 定理

卢卡斯定理/Lucas 定理

引入

求 $C_{n+m}^n\mathrm{mod}p$。

$n,m,p\le {10}^5$。

如果直接用阶乘求，可能在阶乘过程中出现了 $p$，而最后的结果没有出现 $p$，导致错误。

有两种解决方法：

1.求组合数时提前把 $p$ 的质因子除掉。

2.Lucas 定理。

所以 Lucas 定理用于处理模数较小且为质数的情况下，求组合数的问题。

定理推导

先放结论：

$$C_a^b\equiv C_{\lfloor \frac{a}{p}\rfloor }^{\lfloor \frac{b}{p}\rfloor }\cdot C_{a\mathrm{mod}p}^{b\mathrm{mod}p}\mathrm{mod}p$$

先证明 $C_p^i\equiv \frac{p}{i}{C}_{p-1}^{i-1}\equiv 0\mathrm{mod}p$。

$$C_p^i=\frac{p!}{i!(p-i)!}=\frac{p}{i}\cdot \frac{(p-1)!}{(i-1)!(p-i)!}=\frac{p}{i}{C}_{p-1}^{i-1}$$

得证。

考虑二项式定理，易得：

$$(1+x{)}^p\equiv C_p^0+C_p^{1}x+C_p^2{x}^2+\cdots +C_p^p{x}^p\equiv 1+x^p\mathrm{mod}p$$

Ps：除去 $C_p^p=1$ 以外，其他的项都被模为 $0$。

此时，令 $a=lp+r,b=sp+j$。

求证 $C_a^b\equiv C_l^s\cdot C_r^j\mathrm{mod}p$。

接着剥削二项式

$$(1+x{)}^a=(1+x{)}^{lp}(1+x{)}^r$$

展开 $(1+x{)}^{lp}$

$$(1+x{)}^{lp}\equiv ((1+x{)}^p{)}^l\equiv (1+x^p{)}^l\mathrm{mod}p$$

$$\therefore (1+x{)}^a\equiv (1+x^p{)}^l(1+x{)}^r\mathrm{mod}p$$

通过上式，观察 $x^b$ 项。

$$\begin{gathered} \because C_a^b{x}^b\equiv C_l^s{x}^{sp}\cdot C_r^j{x}^j\mathrm{mod}p \\ \therefore C_a^b{x}^b\equiv C_l^s{C}_r^j{x}^b\mathrm{mod}p \\ \therefore C_a^b\equiv C_{\lfloor \frac{a}{p}\rfloor }^{\lfloor \frac{b}{p}\rfloor }\cdot C_{a\mathrm{mod}p}^{b\mathrm{mod}p}\mathrm{mod}p \end{gathered}$$

​

Ps：左边是直接二项式的 $x^b$ 项，右边是二项式 $(1+x^p{)}^l$ 的 $x^{sp}$ 和 $(1+x{)}^r$ 的 $x^j$ 项。