2023NOIP A层联测25 T2 游戏

2023NOIP A层联测25 T2 游戏

优秀且新颖的期望题。

思路

分析问题，由于双方都是最优策略，所以可以说学生知道老师会选择那些教室设置概率（概率设置好就不能改变），老师也知道学生会怎样选择教室（不是知道一定会去那个）。

设老师选择的集合是 $S$。

那么老师在学生不清空的情况下，老师的期望为 $\sum _{i\in S}{p}_i{a}_i$（$p_i$ 是概率）。

学生知道每一项 $i$ 的贡献，所以由于学生要使老师的期望最小，那么学生肯定选 $max(p_i{a}_i)$。

于是答案为 $\sum _{i\in S}{p}_i{a}_i-max(p_i{a}_i)$。

对于最大的那一项 $p_i{a}_i$ 来说，由于他们肯定会被选走，所以说老师不妨把 $p_i$ 改小一点，多出来的概率分给其他的数，虽然总和减小了，但被减掉的部分也减小了，而且不会被减掉的部分增加了，所以答案将获得最优。

那么最好情况下，我们要使得 $\sum _{i\in S}{p}_i=1$ 且对于任意 $i$ 而言 $p_i{a}_i$ 相等。

可以构造

$$p_k=\frac{\frac{1}{a_k}}{\sum _{i\in S}\frac{1}{a_i}}$$

这个 $p_k$ 是符合条件的。

现在问题变为要怎样是答案最大。

答案最大要是 $p_i$ 最小，$p_i$ 最小要使 $\sum _{i\in S}\frac{1}{a_i}$ 最小，也就是使 $\sum a_i$ 最大。

设集合 $S$ 有 $m$ 个数，那么取最大 $m$ 个即可。

而且这样答案合式可化为：

$$\sum _{i\in S}{p}_i{a}_i-max(p_i{a}_i)=\frac{m}{\sum _{i\in S}\frac{1}{a_i}}-\frac{1}{\sum _{i\in S}\frac{1}{a_i}}=\frac{m-1}{\sum _{i\in S}\frac{1}{a_i}}$$

对答案排序后，枚举 $m$ 即可。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int a[55];

double ans,sum;

bool cmp(int a,int b){return a>b;}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) sum+=1.0/a[i],ans=max(ans,(i-1)/sum);
    printf("%.12lf",ans);
}