离线快速LCA（最近公共祖先） Tarjan算法

离线快速LCA（最近公共祖先） Tarjan算法

前言

对于 OIer 来说，LCA 一直是处理树上问题的好帮手，无论是倍增还是树剖都有着优秀的 $\log n$ 的复杂度。不过由于我们（数据规模）的上进，需要更快速求 LCA，于是就有了……

反正之前打死我都不相信这玩意能离线，还能 O(1)

算法思路

首先来一棵树：

我们然后我们将要求 LCA 的点对之间加上一条虚边：

如图，我们将对求点 (7,5)、(8,9)、(11,3) 的 LCA。

一开始每个节点属于一个并查集。

接下来我们通过原树边 DFS 遍历每一个节点，在该节点 $u$ 的子树遍历完成之后，通过该节点 $u$ 的虚边遍历与之求 LCA 的节点 $v$。

此时如果 $v$ 已经通过原树边遍历过，那么他们的 LCA 等于 $v$ 节点的并查集根节点。

反之则不进行任何操作。

然后节点 $u$ 的并查集祖先设为 $u$ 在原树上的父亲。

解释一下原理：

当前 $u$ 子树已经遍历过以后，子树 $u$ 的并查集根节点的子树 $t$ 一定还没有遍历完，也就是说此时还在遍历 $t$ 的子树，如果与节点 $v$ 要求 LCA 的节点是 $u$，且此时 $v$ 通过虚边遍历到了 $u$。

不难发现 $(u,v)$ 的公共祖先肯定有 $t$，而 $u$ 和 $v$ 又属于节点 $t$ 不同的分支，所以 $(u,v)$ 的最近公共祖先就是 $t$。

这种通过并查集连接祖先求 LCA 的方法十分巧妙。

CODE

inline void dfs(int u)
{
    for(ri i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(vis[v]) continue;
        dfs(v);
        fa[v]=u;//并查集连向父亲
    }
    for(pair<int,int> i:EL[u])//遍历虚边
    {
        if(vis[i.F]) Lca[i.S]=frt(i.F);//frt 求该并查集的根
    }
    vis[u]=1;//遍历标记
}
//i.F 是节点的编号，i.S 是问题的编号

时间复杂度分析

预处理 $O(n)$，处理完直接使用 $O(1)$。

总时间 $O(n)$，均摊 $O(1)$。

练习

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

P3128 【USACO15DEC】 Max Flow P