2023NOIP A层联测9 T3 天竺葵

2023NOIP A层联测9 T3 天竺葵

题面及数据范围

Ps:连接为accoderOJ。

看题大概是一个最长上升子序列的带权版本，于是想到 dp。

设 $dp[i][j]$ 为到第 $i$ 项，选出 $j$ 个数的 $c_j$ 最小值，不难想到转移：

$$dp[i][j]=min(dp[i-1][j],a[i](a[i]>dp[i-1][j]\ast b[j]))$$

若任意 $b_i>1$ ，那么答案长度不超过 $50$ 个（每次 $c_i$ 都要比至少 $c_{i-1}\ast b_{i-1}$ 大，而 $b_i-1$ 大于 $1$ 所以可以很快接近 $a_i$ 的上限）。

进一步，发现 $dp[i]$ 具有随 $j$ 上升的单调性，所以把 $dp[i]$ 通过 $a[i]$ 分为两部分，第一部分 $dp[i][j]$ 均小于 $a[i]$，第二部分 $dp[i][j]$ 均大于等于 $a[i]$。

那么对于小于 $a[i]$ 的那一部分 $dp[i][j]$ 根据转移方程肯定等于 $dp[i-1][j]$，对于大于等于的那一部分 $dp[i][j]$ 除第一个位置外，其他的位置的 $dp[i][j]\ast b[j]$ 一定有 $a[i]\le dp[i][j]\ast b[j]$，所以可以更新的位置只有一个，那么每次更新一个位置即可。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int maxn=1e6+5;

int n,ans;
int a[maxn],f[maxn],b[maxn];

signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&b[i]);

    memset(f,0x7f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int pos=lower_bound(f+1,f+n+1,a[i])-f;
        if(a[i]>b[pos-1]*f[pos-1]) f[pos]=min(f[pos],a[i]);
    }

    for(int i=1;i<=n;i++) if(f[i]!=f[0]) ans=i;
    printf("%lld",ans);
}