Java 算法 - 二分法查找 - binarylei

Java 算法 - 二分法查找

Java 算法 - 二分法查找

数据结构与算法之美目录(https://www.cnblogs.com/binarylei/p/10115867.html)

二分法查找是一种非常高效的查找方式，时间复杂度为 O(logn)。

唐纳德·克努特（Donald E.Knuth）在《计算机程序设计艺术》的第 3 卷《排序和查找》中说到："尽管第一个二分查找算法于 1946 年出现，然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到 1962 年才出现。"

二分查找原理非常简单，但想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易，"十个二分九个错"。本文先介绍最简单的一种二分查找的代码实现，再深入分析几种二分查找的变形问题。

1. 工作原理

这一部分，我们说的简单二分查找法，也是精确查找。如 JDK 的 Collections#binarySearch。

public int bsearch(int[] arr, int value) {
    int low = 0;
    int high = arr.length - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = (low + high) / 2;
        if (value < arr[mid]) {
            high = mid - 1;
        } else if (value == arr[mid]) {
            return mid;
        } else {
            low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

说明： 简单的二分查找非常简单，但还是有几个细节需要特别注意一下：

循环退出条件。注意是 low <= high，而不是 low < high，否则可能会查找不到数组，反回 -1。
mid 的取值。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。写成 low + (high - low) / 2，或改写成位运算 low + ((high - low) >> 1)，或 (low + high) >>> 1。
low 和 high 的更新。如果直接写成 low = mid 或者 high = mid，就可能会发生死循环。比如，当 high = 3，low = 3 时，如果 a[3] 不等于 value，就会导致一直循环不退出。

改进后的二分查找法如下，以 Collections#binarySearch 为例：

private static <T> int indexedBinarySearch(List<? extends Comparable<? super T>> list, T key) {
    int low = 0;
    int high = list.size() - 1;

    while (low <= high) {
        int mid = (low + high) >>> 1;
        Comparable<? super T> midVal = list.get(mid);
        int cmp = midVal.compareTo(key);

        if (cmp < 0)
            low = mid + 1;
        else if (cmp > 0)
            high = mid - 1;
        else
            return mid; // key found
    }
    return -(low + 1);  // key not found
}

2. 使用场景

二分查找法虽然查找效率高效，但使用条件非常苛刻，场景使用有限：

二分查找的底层数据结构必须是数组。因为需要根据下标随机访问数组。
二分查找针对的是有序数组。二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。

对于频繁变化的动态数据，二分法不适合。因为每次查找前都需要重新排序，虽然查找的时间复杂度是 O(logn)，但排序的时间复杂度是 O(nlogn)，因而总的时间复杂度就变成 O(nlogn)。
数据量太小不适合二分查找。数据量太小则不能体现二分查找法的优势，还不如直接顺序遍历。

比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。当然，如果数据比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找。如长度超过 300 的字符串比较。
数据量太大也不适合二分查找。数据量太大内存不够，因为数组必须使用连续的内存进行存储。二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。

总结来说：二分法查找底层必须使用有序的静态数组，对于动态数据，或数据量太小，或太大都不适合用二分法。

思考1：二分查找法的底层数据结构为什么不能是链表？

二分查找法每次都获取链表的中间结点，采用快慢结点算法获取链表的中间节点时，快慢指针都要移动链表长度的一半次，也就是 n / 2 次，总共需要移动 n 次指针才行。

第一次，链表长度为 n，需要移动指针 n 次；
第二次，链表长度为 n / 2，需要移动指针 n / 2 次；
第三次，链表长度为 n / 4，需要移动指针 n / 4 次；
......
以此类推，一直到 1 次为值
指针移动的总次数 n + n / 2 + n / 4 + n / 8 + ... + 1 = n(1 - 0.5²) / (1 - 0.5) = 2n

也就是说，如果采用链表的数据结构，仅获取中间结点的时间复杂度是 O(2n)，不仅远远大于数组二分查找 O(logn)，也要大于顺序查找的时间复杂度 O(n)。

思考2：动态数据如何快速查找呢？

我们知道动态数据每次查找前都先进行排序后查找，查找的时间复杂度就变成 O(nlogn)。有没有好的快速查找方法呢？这时跳表就登场了。跳表使用空间换时间的设计思路，通过构建多级索引来提高查询的效率，实现了基于链表的“二分查找”。跳表是一种动态数据结构，支持快速的插入、删除、查找操作，时间复杂度都是 O(logn)。

3. 模糊匹配 - 二分法查找法变形

事实上，二分法在精确匹配上使用的并不多，我们可以用 HashMap 等数据结构替换（虽然 HashMap 比数组更耗内存），二分法往往用在模糊查找上。

查找第一个值等于给定值的元素
查找最后一个值等于给定值的元素
查找第一个大于等于给定值的元素
查找最后一个小于等于给定值的元素

3.1 查找第一个值等于给定值的元素

public int bsearch(int[] arr, int value) {
    int n = arr.length;
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } else if (arr[mid] < value) {
            low = mid + 1;
        } else {
            // 和简单二分法查找不同，如果前一个元素值相等还需要继续递归
            if ((mid == 0) || (arr[mid - 1] != value)) return mid;
            else high = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

说明： 只需要在二分查找的基础上做一点改动即可，如果查找到相等的元素，需要进一步判断前一个元素是否等于要查找的值，如果等于要查找的值，则需要继续递归。

上述的二分法查找代码可读性最好，当然还有一种更高效的写法，可读性就稍微差一点了：

public int bsearch(int[] arr, int value) {
    int n = arr.length;
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] >= value) {
            high = mid - 1;
        } else {
            low = mid + 1;
        }
    }

    if (low < n && arr[low] == value) return low;
    else return -1;
}

3.2 查找最后一个值等于给定值的元素

public int bsearch(int[] arr, int value) {
    int n = arr.length;
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } else if (arr[mid] < value) {
            low = mid + 1;
        } else {
            if ((mid == n - 1) || (arr[mid + 1] != value)) return mid;
            else low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

3.3 查找第一个大于等于给定值的元素

public int bsearch(int[] arr, int value) {
    int n = arr.length;
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] >= value) {
            if ((mid == 0) || (arr[mid - 1] < value)) return mid;
            else high = mid - 1;
        } else {
            low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

3.4 查找最后一个小于等于给定值的元素

public int bsearch(int[] arr, int value) {
    int n = arr.length;
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } else {
            if ((mid == n - 1) || (arr[mid + 1] > value)) return mid;
            else low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

3.5 模糊匹配应用场景

比如，我们需要根据 IP 查找对应的地址，如果数据库中有 100 万个 IP 段对应的地址库，如何高效的进行 IP 匹配呢？比如：

171.43.252.0 ~ 171.43.252.254 武汉
171.43.253.0 ~ 171.43.253.254 广州
171.43.254.0 ~ 171.43.254.254 上海
...

我们的解决方案是这样，首先我们知道 IPv4 可以转换成一个 int 类型数据。我们以每个地址段的起始 IP 进行排序，这样问题就转换成了查找最后一个小于等于给定 IP 问题的解，如果查找的 IP 在查找的 IP 段内，就返回这个地址，否则返回空。

每天用心记录一点点。内容也许不重要，但习惯很重要！

posted on 2020-03-06 15:32 binarylei 阅读(4165) 评论(0) 编辑收藏举报

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