【题解】CF1789C Serval and Toxel's Arrays

题面传送门

解决思路

因为每个数列内的数字不重复，所以我们考虑每个数在多少个数列中出现过。记数字 $x$ 的出现次数为 $cn{t}_x$，如何求它对答案的贡献呢？

已知一共有 $m+1$ 个数列，其中 $cn{t}_x$ 个含有 $x$。我们就行分类讨论：

• 取出一个含 $x$ 数列和一个不含 $x$ 数列，会对答案产生 $1$ 的贡献，这样取的方案数为 $cn{t}_x\times (m+1-cn{t}_x)$（如下图）。

• 取出两个含 $x$ 数列，会对答案产生 $1$ 的贡献，这样取的方案数为 $cn{t}_x\times (cn{t}_x-1)÷2$（如下图）。

这样答案就很明了了。

然后考虑如何求出每个数出现的次数。

记 $ls{t}_x$ 表示数字 $x$ 上一次出现的位置。初始存在为 $0$，没出现过为 $-1$。每次 $x$ 要被改成 $y$ 时，$cn{t}_x$ 要加上 $i-ls{t}_x$，$i$ 为当前的位置，表示这一段中 $x$ 持续存在。然后把 $ls{t}_x$ 改回 $-1$，将 $y$ 设为 $i$。注意所有操作完成后要扫一遍所有数，如果 $lst$ 不为 $-1$，还要加上最后一段的长度。具体可以看代码。

AC Code

//If, one day, I finally manage to make my dreams a reality...
//I wonder, will you still be there by my side?
#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define TIE cin.tie(0),cout.tie(0)
#define int long long
#define y1 cyy
#define fi first
#define se second
#define cnt1(x) __builtin_popcount(x)
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define lbt(x) (x&(-x))
using namespace std;
int T,n,m,a[200005],cnt[400005],lst[400005],x,y;
string s; 
void solve(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n+m;i++) cnt[i]=0,lst[i]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],lst[a[i]]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>x>>y;
		if(a[x]!=y){
			cnt[a[x]]+=i-lst[a[x]],lst[a[x]]=-1;
			lst[y]=i,a[x]=y;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n+m;i++) if(lst[i]!=-1) cnt[i]+=m-lst[i]+1;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n+m;i++){
		ans+=cnt[i]*(m+1-cnt[i]);
		ans+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;
	}
	cout<<ans<<endl;
}
signed main(){
	IOS;TIE;
	cin>>T;
	while(T--) solve();
	return 0;
}