【题解】CF1758D Range = √Sum

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解决思路

通过手算较小的样例，可以得出一种直接的构造方法：

• 若 $n$ 为奇数，则数列为 $\frac{n-1}{2}+2,\frac{n-1}{2}+3,\dots ,n,n+3,n+4,\dots ,n+\frac{n-1}{2}+3$。

• 若 $n$ 为偶数，则数列为 $\frac{n}{2},\frac{n}{2}+1,\dots ,n-1,n+1,n+2,\dots ,n+\frac{n}{2}$。

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证明

为了方便计算，先把原式左右两边都平方。

• $n$ 为奇数的情况：

左式：

$${((n+\frac{n-1}{2}+3)-(\frac{n-1}{2}+2))}^2={(n+1)}^2$$

右式：

$$\begin{gathered} \sum _{i=\frac{n-1}{2}+2}^n+\sum _{i=n+3}^{n+\frac{n-1}{2}+3}=\frac{\left(\frac{3n+3}{2}\right)(\frac{n-3}{2}+1)}{2}+\frac{\left(\frac{5n+11}{2}\right)(\frac{n-1}{2}+1)}{2} \\ =\frac{3n^2-3}{8}+\frac{5n^2+16n+11}{8} \\ =n^2+2n+1 \\ ={(n+1)}^2 \end{gathered}$$

• $n$ 为偶数的情况：

左式：

$${(n+\frac{n}{2}-\frac{n}{2})}^2=n^2$$

右式：

$$\begin{gathered} \sum _{i=\frac{n}{2}}^{n-1}+\sum _{i=n+1}^{n+\frac{n}{2}}=\frac{\left(\frac{3n-2}{2}\right)\times \frac{n}{2}}{2}+\frac{\left(\frac{5n+2}{2}\right)\times \frac{n}{2}}{2} \\ =\frac{3n^2-2n}{8}+\frac{5n^2+2n}{8} \\ =n^2 \end{gathered}$$

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所以两种情况下均满足题目要求，故构造方法合法。

AC Code

//If, one day, I finally manage to make my dreams a reality...
//I wonder, will you still be there by my side?
#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define TIE cin.tie(0),cout.tie(0)
#define int long long
#define y1 cyy
#define fi first
#define se second
#define cnt1(x) __builtin_popcount(x)
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ls(x) (x<<1)
#define rs(x) (x<<1|1)
#define lbt(x) (x&(-x))
using namespace std;
int T,n;
void solve(){
	cin>>n;
	if(n&1){
		for(int i=n/2+2;i<=n;i++) cout<<i<<' ';
		for(int i=n+3;i<=n+n/2+3;i++) cout<<i<<' ';
		cout<<endl;
	}
	else{
		for(int i=n/2;i<n;i++) cout<<i<<' ';
		for(int i=n+1;i<=n+n/2;i++) cout<<i<<' ';
		cout<<endl;
	}
}
signed main(){
	IOS;TIE;
	cin>>T;
	while(T--) solve();
	return 0;
}