【题解】CF1753B Factorial Divisibility

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解决思路

先手算一下样例，可以发现，$i+1$ 个 $i!$ 相加等于 $(i+1)\times i!=(i+1)!$。所以考虑把可以合并的都合并。

因为 $a_i\le 500000$，所以只需用桶计数，从 $1$ 到 $500000$ 扫一遍，发现满足条件的就向后一位进位。 然后我们就得到了原数列最简形式。

考虑两个数 $x,y$，当 $x\ge y$ 时，$x!$ 显然可以被 $y!$ 整除，因为 $x!=y!\times (y+1)\times \cdots \times x$。同理，对于另一个 $z\ge y$，$x!+z!$ 也一定可以被 $y!$ 整除。其实就是乘法分配律。反之，对于 $t<y$，则 $t!$ 不能被 $y!$ 整除，$x!+z!+t!$ 也就不能被 $y!$ 整除了。

所以我们得出，若最简序列中最小 $a_i$ 的若小于 $x$，则最后的和显然无法被 $x!$ 整除。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define TIE cin.tie(0),cout.tie(0) 
#define int long long
#define double long double
using namespace std;
int n,k,a,t[500005];
signed main(){
	IOS;TIE;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a;
		t[a]++;
	}
	for(int i=1;i<=500000;i++){
		t[i+1]+=t[i]/(i+1);
		t[i]%=(i+1); 
	}
	for(int i=1;i<k;i++){
		if(t[i]){
			cout<<"No"<<endl;
			return 0;
		}
	}
	cout<<"Yes"<<endl;
	return 0;
}