树形结构

树的基本概念

树满足以下特点

• 有且仅有一个特定的称为根（Root）节点
• 其余的节点可以分为m（m>=0）个互不相交的有限集合T1、T2、.....Tm，其中每一个集合又是一棵树，并称为其根子树（Subtree）
• 一个节点的子树的个数称为该节点的度数，一棵树的度数是指该数中节点的最大度数
• 度数为零的节点称为树叶或终端节点，度数不为零的节点称为分支节点，除根节点外的分支节点称为内部节点
• 一个节点的子树之根节点称为该节点的子节点，该节点称为他们的父节点，同一节点的各个子节点之间称为兄弟节点。一棵树的根节点没有父节点，叶节点没有子节点
• 一个节点的系列k1、k2、....ki、ki+1、....、kj，并满足ki是ki+1的父节点，就称为一条从k1到kj的路径，路径长度为j-1，即路径中的边数。路径中前面的节点是后面节点的祖先，后面节点是前面节点的子孙
• 节点的层数等于父节点的层数加1，根节点的层数定义为一。树中节点层数的最大值称为该数的高度或深度
• 若数中每个节点的各个子树为排列从左到右，不能交换，即兄弟之间是有序的，则该树称为有序数。一般的树是有序树
• m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。树去掉根节点就称为森林，森林加上一个新节点就成为树

 

树的逻辑结构

树中任何节点都可以有零个或多个直接后继节点（子节点），但至多只有一个直接前驱节点（父节点）。根节点没有前驱节点，叶节点没有后继节点

 

 

二叉树的概念

二叉树是（n>=0）个节点的有限集合，它或者是空集（n=0），或者是由一个根节点以及两颗互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。二叉树与普通有序树不同，二叉树严格区分左孩子和右孩子，即使只有一个子节点也要区分左右

 

 

二叉树的性质

• 二叉树第i（i>=1）层上的节点最多为2^（i-1）个
• 深度为k（k>=1）的二叉树最多有2^k-1个节点
• 在任意二叉树中，树叶的数目比度数为2的节点数目多1
  • 总结点数为各个节点之和：n = n0 + n1 + n2
  • 总结点数为所有子节点数加一：n = n1 + 2*n2 +1
    • 故得：n0 = n2 + 1

满二叉树

深度为k（k>=1）时有2k-1个节点的二叉树

 

完全二叉树

只有最下面两层的度数小于2的节点，且最下面一层的叶节点集中在左边的若干位置上

具有n个节点的完全二叉树的深度为

（log2n） + 1 或 log2(n+1)

 

 

二叉树的遍历

遍历：沿某条搜索路径周游二叉树，对数中的每一个节点访问一次且仅访问一次

"遍历"是任何类型均有的操作，对线型结构而言，只有一条搜索路径（每个节点均只有一个后继），故不需要另加讨论。而二叉树是非线性结构，每个节点又两个后继，则存在如何遍历即按什么样的搜索路径进行遍历的问题