hdu 6125 Free from square(状压dp+分组背包)

题目链接：hdu 6125 Free from square

题意:

从不大于n的所有正整数中选出至少1个且至多k个使得乘积不包含平方因子。

题解：

很容易想到，选出来的数所包含的每个质因子只能有一个。

那么我们对所有的质因子进行状压dp，500以内大概有100个质因子。

那么就成了2¹⁰⁰，显然不能接受。

然后我们发现，对于每一个x(x<=n)，x最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子。

然后我们就可以将大于sqrt(n)的x按照x所包含的那个质因子分组。

比如 n=500，现在有53 54 55 56 57...114。那么53和106在一组，57和114在一组。（可能还有其他的组，这里我随便举例）

在同一组里每个数只能选一次，所以就是分组背包。

所以我们就可以将该问题拆成两个部分：

1.小于sqrt(n)的部分进行状压dp。

2.大于sqrt(n)的部分进行分组背包。

最后将所有合法的答案加起来就行了。（ps：注意处理1这个数字和过滤掉含有多个质因子的数)

#include<bits/stdc++.h>
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
using namespace std;

const int N=505,P=1e9+7,U=(1<<8)-1;
int t,n,K;
int p[8]={2,3,5,7,11,13,17,19};
int dp[2][N][1<<8],st[N],cur;
vector<int>v[N],small;

inline void up(int &a,int b){a+=b;if(a>P)a-=P;}

void solve()
{
    mst(dp,0),cur=0;
    mst(st,0),small.clear();
    F(i,1,n)v[i].clear();
    F(i,1,n)
    {
        int flag=1,tmp=i;
        F(j,0,7)
        {
            if(tmp%(p[j]*p[j])==0){flag=0;break;}
            else if(tmp%p[j]==0)
            {
                tmp/=p[j],st[i]|=1<<j;
            }
        }
        if(tmp==1&&flag)small.push_back(i);
        else if(flag)v[tmp].push_back(i);
    }
    dp[cur][0][0]=1,dp[cur][1][0]=1;//考虑1这个数
    int sz=small.size();//先处理只含小因子的数
    F(k,1,sz-1)F(i,0,K-1)F(j,0,U)if(dp[cur][i][j])
    {
        int x=small[k];
        if(j&st[x])continue;
        up(dp[cur][i+1][j|st[x]],dp[cur][i][j]);
    }
    F(i,1,n)//将含大因子的数进行分组背包
    {
        if(v[i].size()==0)continue;
        cur^=1,memcpy(dp[cur],dp[cur^1],sizeof(dp[cur]));
        F(j,0,K-1)F(k,0,U)if(dp[j][k])
        {
            for(auto &it:v[i])
            {
                if(k&st[it])continue;
                up(dp[cur][j+1][k|st[it]],dp[cur^1][j][k]);
            }
        }
    }
    int ans=0;
    F(i,1,K)F(j,0,U)up(ans,dp[cur][i][j]);
    printf("%d\n",ans);
}

int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--)scanf("%d%d",&n,&K),solve();
    return 0;
}