hdu 6078 Wavel Sequence(前缀和优化dp)

题目链接：hdu 6078 Wavel Sequence

题意：

给你a，b两个序列，让你在a，b中找出公共子序列p，满足p₁<p₂>p₃<p₄...，问有多少种方案。

题解：

考虑dp[i][j][2]，表示a序列选择第i个数，b序列选择第j个数，该数和上一个数的关系是：0为小于，1为大于，的方案数。

那么

dp[i][j][0]=sum{ dp[k][l][1] | x<y,k<i,l<j} 其中x=a[i]=b[j],y=a[k]=a[j]。

dp[i][j][1]=sum{ dp[k][l][0] | x>y,k<i,l<j} 其中x=a[i]=b[j],y=a[k]=a[j]。

这样做显然是O(n⁴)的。考虑优化。

我们发现对于每一个i,j，都是找一个x从1到i-1,y从1到j-1的二维平面，将这个平面满足条件的值相加。

这里运用一个扫描线的思想，设dp[j][2],表示选择b序列的第j个数，后一维和上面一样。

for (i,1:n) for (j,1:m)。

对于i，表示当前已经考虑了a序列的前i个数了，对于j表示当前正在考虑b序列的第j个数。

那么我在for j的时候顺便把b[j]>x和b[j]<x的dp值累加起来。

当前考虑的是前i个数，那么显然当前的dp值的第一维下标都是小于i的，对于j，都是累加的小于j的下标dp值。

那么这个sum的值就是上面的sum{...}。

然后这样就可以O(n²)了。

#include<cstdio>
#define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
const int N=2007,P=998244353;
int t,n,m,dp[N][2],a[N],b[N],ans;
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        F(i,1,n)scanf("%d",a+i);
        F(i,1,m)scanf("%d",b+i);
        F(i,1,m)dp[i][0]=dp[i][1]=0;
        int sum[2];ans=0;
        F(i,1,n)
        {
            sum[0]=sum[1]=0;
            F(j,1,m)
            {
                if(a[i]==b[j])
                {
                    dp[j][0]=(dp[j][0]+1)%P;
                    dp[j][0]=(dp[j][0]+sum[1])%P;
                    dp[j][1]=(dp[j][1]+sum[0])%P;
                }
                if(a[i]>b[j])sum[0]=(sum[0]+dp[j][0])%P;
                if(a[i]<b[j])sum[1]=(sum[1]+dp[j][1])%P;
            }
        }
        F(i,1,m)ans=(1ll*ans+dp[i][0]+dp[i][1])%P;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}