因果图中的条件独立性——基于图的证明

有因果图如下所示，其中\(U_X,U_Y,U_Z\)是外生变量（外生变量之间互相独立）。

图中\(X,Y,Z\)三者之间属于“链式”关系，如果给定\(Y\)的观测值，则\(X\)和\(Z\)相互独立，可以通过图来证明这一点。

令\(Y\)的观测值为\(C\)，则在\(Y\)被观测的前后，\(X\)和\(Z\)各自的因果图分别如下所示（剔除中间变量，画出从外生变量直接到结果变量的因果图）：

可以看到，在\(Y\)被观测前，\(U_X\)既是\(X\)的原因，也是\(Z\)的原因之一，因此\(X\)和\(Z\)并不相互独立。而在\(Y\)被观测后，\(X\)和\(Z\)不再共享任何外生变量，因此相互独立。

同理，对于如下所示的Fork型因果图，在\(X\)被观测前，\(Y\)和\(Z\)共享外生变量\(U_X\)，因此不互相独立，而在\(X\)被观测后，\(Y\)和\(Z\)不再共享任何外生变量，因此相互独立。