投影矩阵与矩阵分解

投影矩阵的计算公式

对于矩阵\(A=[\alpha_1,...,\alpha_n]\), 其列空间的投影矩阵为\(P=A(A^TA)^{-1}A^T\)，即投影矩阵\(P\)与\(n\)维向量 \(x\) 的乘积\(Px\)为\(x\)在\(A\)的列空间上的投影

当\(A\)只有一列时(令\(A=\alpha\))，投影矩阵为\(P=\frac{\alpha \alpha^T}{\alpha^T \alpha}\)

实对称矩阵分解为投影矩阵
对于\(n\)阶实对称矩阵\(S\)，可以进行谱分解：\(S=\sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i u_i u^T_i\)，其中\(u_i\)为两两正交的单位特征向量。

根据投影矩阵的定义式，\(u_i u^T_i\) 也就是 \(u_i\) 所在的一维子空间的投影矩阵。因此矩阵\(S\)的谱分解实际上也就是将\(S\)分解为\(n\)个投影矩阵。

由于\(S\)是对\(n\)维向量的一个算子，因此\(S\)的谱分解就是将一个算子分解成了若干投影算子。