矩阵对角化的意义

对于n阶矩阵\(A\), 如果它有n个线性无关的特征向量 \(\alpha_i(i=1,2...n)\), 那么该矩阵一定可以对角化:
\(A=P\Lambda P^{-1}\), 其中\(P=[\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n]\), \(\Lambda=diagonal(\lambda_1,\lambda_2, ...,\lambda_n)\)
那么对于n维向量 \(x\) 来说, 线性变换 \(Ax\) 等价于 \(P\Lambda P^{-1}x\)

根据坐标变换的相关理论 https://www.cnblogs.com/bill-h/p/13648136.html 可以知道, 对于n维坐标 \(x_n\) 来说, \(P^{-1}x_n\) 表示将自然基向量下的坐标 \(x_n\) 变换为以\({\{\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n\}}\)为基的坐标, 而 \(Px_n\) 则表示相反的坐标变换, 因此线性变换 \(P\Lambda P^{-1}x\) 可以分解为如下三个步骤:

1.将自然基向量下的坐标 \(x\) 变换到以特征向量为基的坐标
2.以特征值为系数对坐标进行数乘
3.将特征向量下的坐标变换回自然基向量下的坐标

因此，在以特征向量为基的坐标系下，矩阵 \(A\) 所代表的线性变换就十分简单了。