线性相位FIR系统的单位脉冲响应

对于线性相位FIR系统，其单位脉冲响应 \(h(n)\) 必定关于 \(\frac{N-1}{2}\) 偶对称或奇对称，其中 \(N\) 为 \(h(n)\) 的长度。如何解释这一现象，文本进行了一些推导。

基本信号作用于系统

当信号 \(x(n)=e^{j\omega_0 n}\) 进入系统 \(H(e^{j\omega})\) 后，得到输出是

\(y(n)=x(n)*h(n)=\sum_\limits{k}h(k)x(n-k)=e^{j\omega_0 n}\sum_\limits{k}h(k)e^{-j\omega_0 k}=H(e^{j\omega_0})e^{j\omega_0 n}\)

可以看到，系统对输入信号的幅度和相位进行了调制，但是不会改变原有频率

令 \(H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{j\varphi(\omega)}\)，当 \(H(e^{j\omega})\) 满足 \(H(e^{-j\omega})=H(e^{j\omega})^*\)

那么对于信号 \(x(n)=cos(\omega n)\)，可以得到输出信号为 \(y(n)=|H(e^{j\omega})|cos(\omega n+\varphi(n))\)

基本信号作用于第一类线性相位系统

如果一个离散时间系统 \(H(z)\) 的相频响应具有线性的特点，即：\(H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{-jk\omega}\)

那么当信号 \(x(n)=cos(\omega n)\) 进入该系统后，得到的输出是 \(y(n)=|H(e^{j\omega})|cos(\omega n-k\omega)=|H(e^{j\omega})|cos(\omega(n-k))\)

可以看到，信号 \(x(n)\) 进入系统后，被延迟了 \(k\) 个单位时间

因此，\(y(n)\) 是关于 \(n=k\) 偶对称的

基本信号作用于第二类线性相位系统

如果系统 \(H(z)\) 的相频响应特点为 \(H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{j(\frac{\pi}{2}- k\omega)}\)

那么当信号 \(x(n)=cos(\omega n)\) 进入该系统后，得到的输出是

\(y(n)=|H(e^{j\omega})|cos(\omega n-k\omega+\frac{\pi}{2})= -|H(e^{j\omega})|sin(\omega n-k\omega) =-|H(e^{j\omega})|sin(\omega(n-k))\)

可以看到，信号 \(x(n)\) 进入系统后，不仅被延迟了 \(k\) 个单位时间，而且从余弦函数变成了正弦函数

因此，\(y(n)\) 是关于 \(n=k\) 奇对称的

单位脉冲信号的分解

单位脉冲信号 \(\delta(n)\) 的频谱恒为 \(1\)，根据傅里叶反变换，可得

\(\delta(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega n} d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}(e^{j\omega n}+e^{-j\omega n})d\omega=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}cos(\omega n)d\omega\)

可以看到，\(\delta(n)\) 可以分解为一系列 \(cos(\omega n)\) 的组合

单位脉冲信号作用于线性相位FIR系统

FIR系统的单位脉冲响应 \(h(n)\) 的长度是有限的，设 \(h(n)\) 的长度为 \(N\)，令系统的频率响应函数为

\(H(e^{j\omega})=H_g(\omega)e^{j\theta(\omega)}\)，其中 \(H_g(\omega)\) 的取值范围是全体实数

当 \(\theta(\omega)\) 满足上述的两种线性相位特点时，系统对 \(cos(\omega n)\) 的响应关于 \(n=k\) (奇/偶)对称，如果 \(H_g(\omega)\) 取负值，那么就意味着原响应再做垂直翻转，这样系统响应依旧可以保持对称性。由于 \(\delta(n)\) 可以分解为一系列的 \(cos(\omega n)\)，因此 \(h(n)\) 也是关于 \(n=k\) (奇/偶)对称的。

此外，由于 \(h(n)\) 的长度是 \(N\)，且是因果信号，因此 \(h(n)\) 只能在 \(n=0,1,2,...,N-1\) 上为非零值，所以 \(h(n)\) 的对称点为 \(\frac{N-1}{2}\)