ATA与AAT

对任意 \(m \times n\) 矩阵 \(A\)，其与自身转置的乘积 \(A^TA\) 和 \(AA^T\)，有如下性质：

\(1.\) \(A^TA\) 与 \(AA^T\) 都是对称矩阵。

\(2.\) \(r(AA^T)=r(A^T)=r(A)=r(A^TA)\) 。

\(3.\) 若 \(A\) 的列线性无关，则 \(A^TA\) 的特征值均大于零；若 \(A\) 的列线性相关，则 \(A^TA\) 的特征值均大于等于零，且必有为零的特征值。

\(4.\) 若 \(\lambda\) 是 \(A^TA\) 的特征值，则 \(\lambda\) 也是 \(AA^T\) 的特征值；若 \(\lambda\) 是 \(AA^T\) 的特征值，则 \(\lambda\) 也是 \(A^TA\) 的特征值。