ATA与AAT

对任意 $m \times n$ 矩阵 $A$，其与自身转置的乘积 $A^TA$ 和 $AA^T$，有如下性质：

$1.$ $A^TA$ 与 $AA^T$ 都是对称矩阵。

$2.$ $r(AA^T)=r(A^T)=r(A)=r(A^TA)$ 。

$3.$ 若 $A$ 的列线性无关，则 $A^TA$ 的特征值均大于零；若 $A$ 的列线性相关，则 $A^TA$ 的特征值均大于等于零，且必有为零的特征值。

$4.$ 若 $\lambda$ 是 $A^TA$ 的特征值，则 $\lambda$ 也是 $AA^T$ 的特征值；若 $\lambda$ 是 $AA^T$ 的特征值，则 $\lambda$ 也是 $A^TA$ 的特征值。