坐标变换

已知n维向量空间中有两组基：\(\{\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n\}, \{\beta_1,\beta_2, ...,\beta_n\}\)

令矩阵 \(A,B\) 分别为 \(A=[\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n], B=[\beta_1,\beta_2, ...,\beta_n]\)

对n维向量 \(\gamma\)，令其在 \(\alpha,\beta\) 两组基下的坐标分别为\(X, Y\)，其中

\(X=[X_1,X_2,...,X_n]^{T}, Y=[Y_1,Y_2,...,Y_n]^{T}\)

则有 \(\gamma=X_1\alpha_1+X_2\alpha_2+...+X_n\alpha_n=AX\) 以及 \(\gamma=Y_1\beta_1+Y_2\beta_2+...+Y_n\beta_n=BY\)

因此有 \(AX=BY\)

于是得到了 \(\alpha,\beta\) 两组基下的坐标 \(X,Y\) 互相变换的公式：

\(X=A^{-1}BY\) 和 \(Y=B^{-1}AX\)