一个矩阵有几个实特征向量

我们都知道，在算上重根的情况下，一个n阶方阵有n个特征值，那么一个n阶方阵有几个线性无关的实特征向量？对于这个问题，本文就2阶方阵给出4个例子供参考。

例1：

矩阵\( \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & 2\\ \end{bmatrix} \) 有特征值 \(\lambda_1=3,\lambda_2=2\)，分别对应特征向量 \( x_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, x_2=\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)

因此，该矩阵有两个线性无关的实特征向量。

例2：

矩阵\( \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \)有特征值 \(\lambda_1=\lambda_2=1\) 和特征向量 \( x=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\)

因此，该矩阵仅有一个线性无关的实特征向量，该矩阵对应的变换是剪切变换。

例3：

矩阵\( \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} \)的特征值为 \(\lambda_1=i,\lambda_2=-i\)

因此，该矩阵没有实特征向量，该矩阵对应的变换是旋转变换。

例4：

矩阵\( \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\\ \end{bmatrix} \)的特征值为2，该矩阵可将任意二维向量的长度拉伸为原来的两倍并保持方向不变。

因此，所有二维实向量均为该矩阵的实特征向量，但是线性无关的实特征向量只有两个。