Math 线性代数 - 随笔分类 - Bill_H

摘要：对于一个

m \times n

$m{\times}n$ 矩阵

A

$A$ ，

A x

$Ax$ 表示一个从

n

$n$ 维向量到

m

$m$ 维向量的线性变换，那么对于

n

$n$ 维空间中的单位超球面

‖ x ‖ = 1

$\Vert x \Vert =1$ 上的所有向量

x

$x$ ，哪一个在变换后模长最小（大）呢从上篇的分析可知，对于

A T A

$AT A$ 的单位特征向量

v_{i}

$v_i$ ，有$\Vert A 阅读全文

posted @ 2022-01-02 18:29 Bill_H 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

奇异值分解上篇

摘要：引言一个

m \times n

$m{\times}n$ 矩阵就是一个对

n

$n$ 维向量进行线性变换的算子。当

m = n

$m=n$ 时，一般而言会有一些向量在变换前后方向不变，这些向量就被称为“特征向量”。那么当

m \neq n

$m{\neq}n$ 时，显然就没有向量在变换前后方向不变了（因为维度改变了），那么此时是否还能找到一组向量，这组向量在线性变换阅读全文

posted @ 2021-12-11 17:53 Bill_H 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

投影矩阵与矩阵分解

摘要：投影矩阵的计算公式对于矩阵

A = [α_{1}, . . ., α_{n}]

$A=[\alpha_1,...,\alpha_n]$ , 其列空间的投影矩阵为

P = A (A T A) - 1 A^{T}

$P=A(ATA){-1}A^T$ ，即投影矩阵

P

$P$ 与

n

$n$ 维向量

x

$x$ 的乘积

P x

$Px$ 为

x

$x$ 在

A

$A$ 的列空间上的投影当

A

$A$ 只有一列时(令

A = α

$A=\alpha$ )，投影矩阵为$P=\f 阅读全文

posted @ 2021-08-03 23:14 Bill_H 阅读(1478) 评论(0) 推荐(0) 编辑

矩阵对角化的意义

摘要：对于n阶矩阵

A

$A$ , 如果它有n个线性无关的特征向量

α_{i} (i = 1, 2... n)

$\alpha_i(i=1,2...n)$ , 那么该矩阵一定可以对角化:

A = P Λ P^{- 1}

$A=P\Lambda P^{-1}$ , 其中

P = [α_{1}, α_{2}, . . ., α_{n}]

$P=[\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n]$ , \(\Lambda=diagonal(\ 阅读全文

posted @ 2021-07-25 14:27 Bill_H 阅读(1675) 评论(0) 推荐(0) 编辑

一个矩阵有几个非零奇异值

摘要：设

A

$A$ 是任意

m \times n

$m \times n$ 矩阵，则

A^{T} A

$A^TA$ 有如下分解：

A^{T} A = P Λ P^{- 1}

$A^TA=P \Lambda P^{-1}$ ，其中

Λ

$\Lambda$ 是对角矩阵，其对角线上的元素是

A^{T} A

$A^TA$ 的特征值，则

A^{T} A

$A^TA$ 有

r (Λ)

$r(\Lambda)$ 个非阅读全文

posted @ 2020-10-07 22:15 Bill_H 阅读(2376) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二次型与特征向量

摘要：设

A

$A$ 为

n

$n$ 阶实对称矩阵，则

A

$A$ 可以分解为

A = Q Λ Q^{T}

$A=Q \Lambda Q^T$ ，其中

Q = [q_{1}, q_{2}, . . ., q_{n}]

$Q=[q_1,q_2,...,q_n]$ ，

q_{i}

$q_i$ 为

A

$A$ 的特征向量且

Q Q^{T} = I

$QQ^T=I$ ， \(\Lambda=diag[\lambda_1,\lambd 阅读全文

posted @ 2020-10-04 11:43 Bill_H 阅读(1667) 评论(0) 推荐(0) 编辑

ATA与AAT

摘要：对任意

m \times n

$m \times n$ 矩阵

A

$A$ ，其与自身转置的乘积

A^{T} A

$A^TA$ 和

A A^{T}

$AA^T$ ，有如下性质：

1.

$1.$

A^{T} A

$A^TA$ 与

A A^{T}

$AA^T$ 都是对称矩阵。

2.

$2.$

r (A A^{T}) = r (A^{T}) = r (A) = r (A^{T} A)

$r(AA^T)=r(A^T)=r(A)=r(A^TA)$ 。

3.

$3.$ 若

A

$A$ 阅读全文

posted @ 2020-09-24 19:56 Bill_H 阅读(9051) 评论(0) 推荐(2) 编辑

线性代数计算代码（python）

摘要：行向量

[- 1, 0, 1]

$[-1,0,1]$ np.array([[-1,0,1]]) 列向量

[- 1, 0, 1]^{T}

$[-1,0,1]^T$ np.array([[-1],[0],[1]]) 注意：无论是行向量还是列向量都需要双重方括号求向量的点乘和叉乘 v1 = np.array([1, 0, 0]) v2 = np.ar 阅读全文

posted @ 2020-09-22 00:15 Bill_H 阅读(573) 评论(0) 推荐(0) 编辑

矩阵与自然基向量

摘要：一个矩阵代表着一个线性变换，对于自然基向量而言，变换后的结果就是矩阵的某一列。举例如下：

\begin a & c\ b & d \end \begin 1\ 0\ \end=\begin a\ b\ \end

$\begin a & c\ b & d \end \begin 1\ 0\ \end=\begin a\ b\ \end$ $ \begin a & d\ b & e\ c & f \end \begin 阅读全文

posted @ 2020-09-21 19:21 Bill_H 阅读(1592) 评论(0) 推荐(0) 编辑

实对称矩阵

摘要：实对称矩阵有着很好的性质，如果用一句话概括，就是： n阶实对称矩阵必有n个两两正交的实特征向量。百度百科对实对称矩阵的性质描述如下： 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。 2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。 3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元阅读全文

posted @ 2020-09-13 20:38 Bill_H 阅读(4328) 评论(0) 推荐(1) 编辑

坐标变换

摘要：已知n维向量空间中有两组基：

{α_{1}, α_{2}, . . ., α_{n}}, {β_{1}, β_{2}, . . ., β_{n}}

$\{\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n\}, \{\beta_1,\beta_2, ...,\beta_n\}$ 令矩阵

A, B

$A,B$ 分别为 \(A=[\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n], B=[\bet 阅读全文

posted @ 2020-09-10 22:53 Bill_H 阅读(744) 评论(0) 推荐(0) 编辑

一个矩阵有几个实特征向量

摘要：我们都知道，在算上重根的情况下，一个n阶方阵有n个特征值，那么一个n阶方阵有几个线性无关的实特征向量？对于这个问题，本文就2阶方阵给出4个例子供参考。例1：矩阵

\begin 3 & 1\ 0 & 2\ \end \(有特征值\)\lambda_1=3,\lambda_2=2

$\begin 3 & 1\ 0 & 2\ \end $有特征值$\lambda_1=3,\lambda_2=2$ ，分别对应特征向阅读全文

posted @ 2020-09-06 21:08 Bill_H 阅读(2466) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Bill_H

随笔分类 - Math 线性代数

搜索

随笔分类

站点

阅读排行榜

最新评论