算法导论 第8章 线性时间排序 课后习题
8.2-2 证明COUNTING-SORT是稳定的。
问题解答：
假设输入数组A[1...n]，length[A]=n，数组A中有两个元素具有相同的值，下标分别为a，b（1≤a<b≤n）即A[a] = A[b]。经过计数排序运行至行7，C[A[a]] = C[A[b]]。在第9~11行中循环部分中，循环变量 i 用于指示数组A的下标，其值从 length[A] 到 1 递减遍历。由b>a可知，A[b]优先插入数组B中。在循环执行体行10、行11中，每当将一个值A[i]放入数组B位置C[A[i]]时，都要使C[A[i]]的值减1。因此，A[b]首先插入数组输出数组B中，且A[a]插入在A[b]的前一个位置上。
8.2-3 在COUNTING-SORT过程中，假设第9中for循环的首部改成改写成如下形式
9 for j ← 1 to length[A]
证明该算法仍能正常的工作。修改后的算法是稳定的吗？
问题解答：
在第9~11行中循环部分中，循环变量i用于指示输入数组A的下标。循环首部的改变，仅改变数组A中元素遍历次序，即数组A中元素插入数组B的次序，从大下标优先插入变为小下标优先插入。数组A中元素插入数组B的位置为C[A[i]]，只和元素的值有关，和元素的下标无关。所以修改后的算法仍然能正常的工作。
修改后的算法，数组A中元素插入数组B的次序是小下标优先插入。如果有两个元素有相同的值，即指向C中同一个元素，则较小下标的元素优先插入数组B中，然后使指向的C中元素减1，所以较大下标的元素插入到较小下标的元素的前面。算法是不稳定的。
8.3-2 下面的算法中那些是稳定的：插入排序，合并排序，堆排序和快速排序？给出一个能是任何排序算法都稳定的方法。给出的方法带来的额外时空开销是多少？
问题解答：
插入排序、合并排序均是稳定的；快速排序，堆排序不稳定。
先给每个元素增加一个域index，表示在输入数组中的索引值。元素之间的比较，先比较元素的值，若值是相等的话，需进一步比较index。每个index可用lgn位大小的整数来表示，需额外的Ω(nlgn)空间。由于增加的额外的比较次数至多和原先的比较次数相同，时间复杂度并不变。（参考答案）
8.3-4说明如何在O(n)时间内，对0到n^2-1之间的n个整数进行排序。
问题解答：
引理8.3 给定n个d位数，每一个数位可以取k种可能的值。如果所用的稳定排序需要Θ(n+k)的时间，基数排序算法能以Θ(d(n+k))的时间正确地对这些数进行排序。
若采用n进制对0到n^2-1之间的数表示，需要2位数即可。由上述引理可得，基数排序的时间为Θ(d(n+k))=Θ(2(n+n)) =Θ(n) (参考答案)
8.4-2 桶排序的最坏情况运行时间是什么？如果要在保持其线性运行时间的同时，使最坏情况时间为O(nlgn)，要对算法做什么样的修改？
问题解答：
最坏情况下，即所有的输入元素均落入一个桶内，桶排序就退化为一个插入排序。而插入排序的最坏情况时间代价为Θ(n^2)。如果要在保持其线性运行时间的同时，使最坏情况时间为O(nlgn)，对桶内元素排序方法更换为最坏情况为O(nlgn)的合并排序。
8.4-3在单位圆内有n个点，pi=(xi, yi)，使得0<xi^2 + yi^2 ≤1, i = 1,2,....,n。假设所有点是均匀分布的，亦即，某点落在圆的任一区域中的概率与该区域的面积成正比。请设计一个Θ(n)期望的算法，来根据点到原点的距离di=sqrt(xi^2 + yi^2)对n个点排序。
问题解答：
桶排序是把区间[0,1)区间划分成n个大小相同的子区间（即桶），且要求输入元素等可能落在任何桶中。按照桶排序的思想，把单位圆划分成n个等面积的同心环即可。
设：输入元素有两个域x，y，分别表示横坐标和纵坐标。元素之间的大小比较是通过比较di=sqrt(xi^2 + yi^2)来判断的。
算法伪代码：
BUCKET-SORT'(A)
n ← length(A)
for i ←1 to n
do index ← floor( n( A[i].x^2 + A[i].y^2 ) )
insert A[i] into B[index]
for i ←1 to n
do sort list B[i] with insertion sort
concatenate the list B[0], B[1], ..., B[n-1] together in order
思考题
8-2 以线性时间原地排序
假设有一个有n个数据记录组成的数组要排序，且每个记录的关键字的值为0或1。排序这样一组记录的一个算法应具备如下三个特性中的一部分。
1）算法的运行时间为O(n)。
2）算法是稳定的。
3）算法是原地排序的，它可以使用除输入数组以外的固定量的存储空间。
a）给出一个满足上述条件1和条件2的算法。
b）给出一个满足上述条件1和条件3的算法。
c）给出一个满足上述条件2和条件3的算法。
d）在a）~c）中给出的算法能否用来在O(bn)时间内排序，对有b位关键字的n个记录进行基数排序？如果行，说明如何做；如果不行，说明原因。
e）假设一个n个记录中每个的关键字都介于1到k之间。说明如何修改计数排序，使得可以在O(n+k)时间内对n个记录原地排序。除输入数组外，可另用O(k)的存储空间。你给出算法是稳定的吗？（提示：当k=3时应该如何做）
问题解答：
a）使用计数排序即可满足要求。
b）由于记录的关键字的值只有两种情况（0或1），可使用类似快速排序中PARTITION将数组划分为两个区域，一区域只含关键字值均为0，另一区域关键字均为1。
具体算法为：
PARTITON-SORT(A)
n ← lenght[A]
i ← 1
while A[i] = 0 and i ≤ n
do i ← i + 1
p← i
i ← i - 1
for j ← p to n
do if A[j] = 0
then i ← i + 1
exchange A[i] ↔ A[j]
c） 使用插入排序或合并排序即可满足要求
d）
a）算法可以，对数组元素的每一位的排序都采用计数排序即可。
b）算法不可以，是由于快速排序算法的数组分割是不稳定的。
c）算法也不可以，是由于插入排序和合并排序的最坏运行时间为O(n^2)。
e） 说明暂时不会
