解方程——对分法

对分法的理论依据是：设f是区间[a,b]上得连续函数，满足f(a)f(b)<0，那么f在a和b之间有一个根r，使得f(r) = 0

算法分析：

1.首先确定r在(a,b)区间内

2.令c0 = (a0 + b0)/2

if f(c0)f(a0) < 0

b1 = c0; a1 = a0

else

a1 = c0; b1 = b0

3.以此类推 

matlab代码实现：

%代码运行前先要建立一个内联函数，比如f=inline('x^3 + x - 1')
function xc = bisect(f,a,b,tol)
if sign(f(a))*sign(f(b)) >= 0
    error('f(a)f(b)<0 not satisfied!')
end

fa = f(a);
fb = f(b);
k = 0;
while (b - a)/2 > tol %这里的tol是指求根时要求的精度
    c = (a + b)/2;
    fc = f(c);
    if fc ==0
        break
    end
    if sign(fc)*sign(fa) < 0
        b = c;
        fb = fc;
    else
        a = c;
        fa = fc;
    end
end

xc = (a + b)/2

算法的精度：

设[a0,b0]为初始区间，

第一次对分后变为[a1,b1],长度变为(b0 - a0)/2

第一次对分后变为[a2,b2],长度变为(b0 - a0)/2^2

... ...

第n次对分后变为[an,bn],长度变为(b0 - a0)/2^n

我们取xc = (an + bn)/2 为根的近似，

则误差为：|xc - r| < (b0 - a0)/2^(n+1)

 

我们定义：如果误差小于0.5x10^(-p)，那么解精确到P位小数

这样一来，我们就可以根据所要求的解的精确度来确定需要对分的次数n了。

例子：在区间[0,1]上求f(x)=cosx - x的根，精确到6位小数

根据误差公式：(1-0)/2^(n+1) < 0.5*10^(-6)

可以求得 n >= 19.9

也就是说至少要对分20次才能达到所要求的精度。