【基础算法】回溯法与八皇后问题

 

 

　　在国际象棋中，皇后是最强大的一枚棋子，可以吃掉与其在同一行、列和斜线的敌方棋子。比中国象棋里的车强几百倍，比她那没用的老公更是强的飞起（国王只能前后左右斜线走一格）。上图右边高大的棋子即为皇后。

 　　八皇后问题是这样一个问题：将八个皇后摆在一张8*8的国际象棋棋盘上，使每个皇后都无法吃掉别的皇后，一共有多少种摆法？此问题在1848年由棋手马克斯·贝瑟尔提出，岂止是有年头，简直就是有年头，82年的拉菲分分钟被秒的渣都不剩。

　　八皇后问题是典型的回溯法解决的问题，我们以这个问题为例介绍回溯法。

　　所谓回溯法，名字高大上，思想很朴素。设想把你放在一个迷宫里，想要走出迷宫，最直接的办法是什么呢？没错，试。先选一条路走起，走不通就往回退尝试别的路，走不通继续往回退，直到找到出口或所有路都试过走不出去为止。

是的你没说错，这就是暴力破解。对于BigMoyan这种简单粗暴不喜欢动脑子的人来说实在是太合适了，盲僧李青说得好：如果暴力不是为了解题，那就毫无意义了。

 

　　尽管回溯法也算是暴力方法，但也不是特别暴力，特别暴力的相关部门都不让播，能播的都是可以接受的暴力。怎么说？考虑八皇后问题，解决这个问题最暴力的办法是这样的：

　　有关部门不让播的方法：

　　从8*8=64个格子里选8个格子，放皇后，测试是否满足条件，若满足则计数加1，否则换8个格子继续试。

　　很显然， 64中选8，并不是个小数字，十亿级别的尝试次数，够暴力。

　　这还是8*8的格子，要是换围棋棋盘……这画面太美我都不敢算。

　　稍加分析，我们可以得到一个不那么暴力的办法，显然，每行每列最多只能有一个皇后，如果基于这个事实进行暴力破解，那结果会好得多。安排皇后时，第一行有8种选法，一旦第一行选定，假设选为（1，i），第二行只能选（2，j），其中j!=i，所以有7种选法。以此类推，需要穷举的情况有8！=40320种。

　　看起来这个结果已经不错了，但尝试的次数是随问题规模按阶乘水平提高的，BigMoyan仍然不满意——咋可能满意嘛！回溯法还没出，我要是满意了剩下的篇幅讲啥。

　　8皇后太多，后宫太过丰富BigMoyan可hold不住，不如我们先裁一半分析试试，于是BigMoyan与4位皇后办了离婚手续，同时把家缩小了一半，那么现在问题变成了4皇后问题，4个皇后在4*4的格子里各自安排不打架，一共有多少种安排方法？

 

　　试着来穷举一下，真的需要4！=24次尝试吗？

　　现在我们把第一个皇后放在第一个格子，被涂黑的地方是不能放皇后的。

 

　　第二行的皇后只能放在第三格或第四格，比方我们放第三格，则：

　　糟啦撸，前两位皇后沆瀣一气，已经把第三行全部锁死了，第三位皇后无论放哪里都难逃被吃掉的厄运。于是在第一个皇后位于1号，第二个皇后位于3号的情况下问题无解。我们只能返回上一步来，给2号皇后换个位置。

　　显然，第三个皇后只有一个位置可选。当第三个皇后占据第三行蓝色空位时，第四行皇后无路可走，于是发生错误，返回上层调用（3号皇后），而3号也别无可去，继续返回上层调用（2号），2号已然无路可去，继续返回上层（1号），于是1号皇后改变位置如下，继续搜索。

　　话说道这里，想必读者对“回溯法”已经有了基本概念。然而所谓知易行难，理解算法和将算法写出来完全是两回事。按照BigMoyan的风格，下面该进行算法分析了，下面的代码改写自刘汝佳《算法竞赛入门经典》，几乎是BigMoyan看到的实现8皇后问题最简洁的代码，改写后整个函数只有10行。

void queen(int row){
    if(row==n)
        total++;
    else
        for(int col=0;col!=n;col++){
            c[row]=col;
            if(is_ok(row))
                queen(row+1);
        }        
}

 

　　算法是逐行安排皇后的，其参数row为现在正执行到第几行。n是皇后数，在八皇后问题里当然就是8啦。

　　第2行好理解，如果程序当前能正常执行到第8行，那自然是找到了一种解法，于是八皇后问题解法数加1。

　　如果当前还没排到第八行，则进入else语句。遍历所有列col，将当前col存储在数组c里，然后使用is_ok()检查row行col列能不能摆皇后，若能摆皇后，则递归调用queen去安排下一列摆皇后的问题。

　　还不太清楚？再慢点来，刚开始的时候row=0，意思是要对第0行摆皇后了。

　　If判断失败，进入else，进入for循环，col初始化为0

　　显然，0行0列的位置一定可以摆皇后的，因为这是第一个皇后啊，后宫空荡她想怎么折腾就怎么折腾，于是is_ok(0)测试成功，递归调用queen(1)安排第1行的皇后问题。

　　第1行时row=1，进来if依然测试失败，进入for循环，col初始化为0。1行0列显然是不能摆皇后的，因为0行0列已经有一个圣母皇太后在那搁着了，于是is_ok()测试失败，循环什么也不做空转一圈，col变为1。1行1列依然is_ok()测试失败，一直到1行2列，发现可以摆皇后，于是继续递归queen(2)去安排第二个皇后位置。

　　如果在某种情况下问题无解呢？例如前面在4皇后问题中，0行0列摆皇后是无解的。假设前面递归到queen(2)时候，发现第2行没有地方可以摆皇后，那怎么办呢？要注意queen(2)的调用是在queen(1)的for循环框架内的，queen(2)若无解，则自然而然queen(1)的for循环col自加1，即将第1行的皇后从1行2列改为1行3列的位置，检查可否放皇后后继续安排下一行的皇后。如此递归，当queen(0)的col自加到7，说明第一列的皇后已经遍历了从0行1列到0行7列，此时for循环结束，程序退出。

　　在主函数中调用queen(0)，得到正确结果，8皇后问题一共有92种解法。

　　全部程序如下：

 

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;

int n=8;
int total=0;
int *c=new int(n);

bool is_ok(int row){
    for(int j=0;j!=row;j++){
        if(c[row]==c[j] || row-c[row]==j-c[j] || row+c[row]==j+c[j])
            return false;
    }
    return true;
}

void queen(int row){
    if(row==n)
        total++;
    else
        for(int col=0;col!=n;col++){
            c[row]=col;
            if(is_ok(row))
                queen(row+1);
        }       
}

int main(){
    queen(0);
    cout<<total;
    return 1;
}