摘要： 伴随矩阵 对于2×2矩阵来说，它的逆矩阵公式： 对于更高阶矩阵，我们也希望使用类似的公式。从2×2的逆矩阵公式可以看出，它的逆矩阵由两部分组成，其一是行列式的倒数，这意味着矩阵可逆的前提是行列式不为0，问题是另一部分是什么？ 仔细观察，发现它和代数余子式有一定的关系，对于A来说： a的代数余子式： 阅读全文

摘要： 不等约束 上篇文章介绍了如何在等式约束下使用拉格朗日乘子法，然而真实的世界哪有那么多等式约束？我们碰到的大多数问题都是不等约束。对于不等约束的优化问题，可以这样描述： 其中f(x)是目标函数，g(x)为不等式约束，h(x)为等式约束，x = x1, x2, …… xk。 对于不等约束来说，无非是大于 阅读全文

摘要： 行列式 如果有两个向量<a1, a2>和<b1, b2>，那么这两个向量组成的行列式是： 看起来只是表示一个简单的计算，仅仅计算了一个数值，但是别忘了，行列式是由向量组成的，它一定会表示向量间的某种关系。 在《线性代数笔记4——向量3（叉积）》中我们看到，二阶行列式表示了二维平面中以两个向量为临边的 阅读全文

摘要： 标准正交矩阵 标准正交向量 有一堆向量，q1,q2……qn，它们两两正交，这意味着这些向量满足： 一个向量没法和自己正交，在i = j时，让qiTqi = 1，这相当于qi模长等于1： 向量的转置乘以自身等于1，意味着这个向量是单位向量，所以我们称这堆向量q1,q2……qn是标准正交向量。 标准正交 阅读全文

摘要： 牛顿是近代科学的先驱，智商290，碾压无数学霸，一个苹果都能砸出万有引力定律。 在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿三大运动定律，它们和万有引力定律奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为无数中学生的噩梦。牛顿他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体 阅读全文

摘要： 一维空间的投影矩阵 先来看一维空间内向量的投影： 向量p是b在a上的投影，也称为b在a上的分量，可以用b乘以a方向的单位向量来计算，现在，我们打算尝试用更“贴近”线性代数的方式表达。 因为p趴在a上，所以p实际上是a的一个子空间，可以将它看作a放缩x倍，因此向量p可以用p = xa来表示，只要找出x 阅读全文

摘要： 正交向量 正交是垂直的令一种说法，两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。 这可以用直角三角形的三边解释： 当x和y正交时，二者的点积是0，反过来也一样。这个结论在n维空间也适用，当Rn空间内的两个向量x和向量y正交时： 如果x是零向量，xTy还是0，也意味着零向量和任意向量正交。 正交子空间 正 阅读全文

摘要： 图也可以用矩阵来描述。这里的“图”不是picture，而是graph，是一种常用数据结构，离散数学中还专门有“图论”的研究 阅读全文

摘要： 矩阵空间 矩阵空间是对向量空间的扩展，因为矩阵的本质是向量，所以与向量空间类似，也存在矩阵空间。 在向量空间中，任意两个向量的加法和数乘仍然在该空间内。类似的，所有固定大小的矩阵也组成了矩阵空间，在空间内的任意两个矩阵的加法和数乘也在该空间内。例如，M是所有3×3矩阵构成的空间，空间内的矩阵可以相加 阅读全文

摘要： 前面已经介绍了矩阵的零空间和列空间，它们都属于矩阵的四个基本子空间，基本子空间还包括行空间和左零空间。 召唤一个矩阵： 为了找出零空间和列空间，先进行套路运算——转换为行最简阶梯矩阵： 只有一个主元，也就是仅有一个向量都是独立向量，列空间是： 这同时也意味着矩阵A的秩是1。矩阵的秩、列空间的基的向量 阅读全文