线性代数笔记13——Ax=b的通解
关于最简行阶梯矩阵和矩阵秩，可参考《线性代数笔记7——再看行列式与矩阵》
召唤一个方程Ax = b：
3个方程4个变量，方程组有无数解，现在要关注的是b1b2b3之间满足什么条件时方程组有解，它的解是什么？
在这个例子中可以马上看出，b1+b2 = b3，一般的方法是消元法化简：
化简到这一步就可以确定主元是x1和x3。通过最后一行可知，b3 – b2 - b1 = 0。b1b2b3可以是任意数，所以只要满足b3 – b2 - b1 = 0，方程组就有解。这样的组合很多，可以很容易找到一个特解：
现在我们知道了b中三个分量的关系，并且还知道只有当 b属于A的列空间时有解。通过上一章的方法可知，列空间的基就是主元所在的列：
到此为止回答了第一个问题，什么样的b才能使Ax = b有解。现在需要回答另一个问题，Ax = b的所有解是什么？
可以先找出一个特解，方法是令所有自由元为0，然后解出主元：
已经找到了一个特解，那么方程组的其它解，也就是通解是什么呢？
假设Ax= 0的零空间的任意向量是xn，Ax = b有一个特解xp，那么有：
二者相加：
所以方程组的通解是xn + xp。对于方程组的某解xp来说，xp与零空间内任意向量之和仍为解。现在看看零空间：
综合特解，得到Ax = b的通解：
矩阵的秩和主元个数相同。如果A是一个m行n列的矩阵，其主元的个数一定小于m，并且也小于n。如果A的每一列都有主元，那么A是满秩矩阵，没有自由元，如果此时有解，则解是唯一的，就是特解，即x = xp，此时不需要求解零空间，零空间只包含零向量。
作者：我是8位的
随笔
