线性代数笔记12——列空间和零空间
零空间
先看定义。A是m×n矩阵，x是列向量，如果存在向量集合N，满足：
则称N是A的零空间。
零空间的意义
从定义看出，零空间是方程Ax = 0的所有解的集合：
A的零空间关心的是方程方程Ax = 0的解，准确地说是解所张成的空间，方程等于零向量也是零空间中“零”的含义。因为x∈Rn，零空间关心的又是x的解，所以x张成的空间也在Rn中，那么它是否是Rn的子空间呢？
首先，0向量是方程的一组解。再假设v1,v2也都是方程的解，现在来看加法封闭性：
v1,v2满足加法封闭性。最后验证数乘封闭性，C是任意常数：
v也满足数乘封闭性，所以零空间也是Rn的子空间。既然零空间是子空间，子空间又必须包括零向量，当Ax = b，b≠0时，由于没有全零解，A一定没有零空间。
找出零空间
我们已经知道了零空间的意义，如何找出零空间呢？
先看一个例子：
示例比较简单，除了全零解之外，方程组还有多组解，具体来说，如果C是任意常量，则：
在R3空间中，N(A)是过原点的直线。
再来个稍微复杂点的例子：
只需求解方程组就可以了，方法之一是将A化为行最简阶梯矩阵：
为了求解方便，我们的目标是让方程组的未知数尽量少，所以还可以进一步化简，让台角上方全为0：
将行最简阶梯矩阵转换为方程组：
两个方程，四个未知数，方程组有无数解，A的零空间是整个R4还是R4的其它子空间呢？回答这个问题前，还需要对方程组进一步转化：
x3，x4可以是任意实数，a，b是线性无关的，所以A的零空间就是a和b张成的空间：
具体来说，A的零空间是R4空间内过原点的一个平面，当然也是R4的子空间。
零空间与线性无关
再来关注一下Ax = 0中A的性质，Am×n由n个列向量组成：
如果A是线性无关的，意味着方程组只有一个全零解，或者说，这个方程的解集是A的零空间，并且这个零空间只包含零向量。此时，A应当可以化简成单位矩阵：
结论是，当A是满秩方阵或列满秩的长方矩阵时，A的零空间只有零向量（仅仅是行满秩时就不一定了）。
列空间
如果A是m×n矩阵，那么A的列空间是A中所有列向量张成的空间。A的列空间用C(A)表示：
C(A)显然是Rm的子空间。
列空间的意义
先召唤一个矩阵：
三个向量不能构成整个R4空间，它只能构成R4的子空间。那么列空间的意义何在呢？ 还是要结合方程来看，零空间关心的是Ax = 0的解；列空间关心的是，在Ax = b中，什么样的b才能让方程有解。对于任意的b，方程并不总是有解，比如下面这个：
四个方程，三个未知数，方程组可能无解。从向量空间上看，三个向量无法充满整个四维空间，所以肯定有很多b不是这三个向量的线性组合。同时，这个方程组也可能是有解的，什么样的b才能使方程组有解呢？一个简单的办法是先写出x，然后根据b = Ax反推出b：
可以看到，b是A的线性组合，所以b一定在A的列空间内，此时Ax = b有解；反之，如果b不在A的列空间中，意味着Ax = b无解，这就是列空间意义了。
在上面例子中，A的第三个列向量可以由前两个的线性组合表示，因此A的列空间是R4的二维子空间：
列空间的基
我们已经理解了列空间，怎样计算列空间的基呢？先来看个例子：
A的列空间可以直接写成：
这样写似乎没错，但是A的四个列向量是否是线性组合呢？肯定不是，因为C(A)至多能张成R3空间，只需要三个向量就够了，所以A的四个向量中至少有一个是多余的，这就需要去掉多余的向量，求得列空间的基，这需要运用零空间的知识进行一些计算。首先将A转换为行最简阶梯矩阵，在此基础上让台角上方全为0：
A最终化简为行最简阶梯矩阵，阶梯的台角代表主元：
这样看来主元的个数等于矩阵的秩。在R中，1、2两列是主元所在的列，它们是线性孤立的，其它列都可以用它们的线性组合表示，这也意味着1、2列的前身——A的1、2两列是线性孤立的。因此，只要确定了主元，就可以将列空间的基用主元所在的列数表示，本例中：
示例
示例1
看看哪些是R3的子空间？
首先回顾一下子空间，子空间包括零向量，子空间内所有向量的线性组合依然在子空间内。
1.这里描绘了向量分量间的关系是线性的，可以将其转换为方程：
<a1,a2,a3>是<1,1,-1>的零空间，零空间是R3的子空间。
2.三个分量不是线性关系了，这意味着八成不是子空间，可以随意列举几个向量。当a1 =1,a2 =1时，a3 = a1 a2 = 1，<a1,a2,a3> = <1, 1, 1>，由于子空间对数乘封闭，所以<2, 2, 2>也应该在子空间内，但此时 a3 ≠ a1a2，所以问题2的条件不能构成子空间。
3.先将表达式化简：
<a1,a2,a3>是<1, 0, -1>和<1, 0, 1>的线性组合，是子空间。
4. 还是先将表达式化简：
注意到第二个分量是1，是定值，无法构成零向量，问题4的条件不能构成子空间。
示例2
找出Ax=b的列空间。
首先化简为最简行阶梯矩阵：
主元是1、2、4列，列空间是主元所在的列：
作者：我是8位的
